Question

【題目】如圖，三棱錐中，，底面為正三角形.

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）若平面，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，一般通過(guò)線(xiàn)面垂直性質(zhì)定理，即先證線(xiàn)面垂直，耳線(xiàn)面垂直的判定，往往從線(xiàn)線(xiàn)垂直出發(fā)，其中線(xiàn)線(xiàn)垂直的尋找與論證往往利用平幾知識(shí)：取的中點(diǎn)，則由等腰三角形性質(zhì)得，，進(jìn)而可證線(xiàn)面垂直（Ⅱ）求二面角，一般利用空間向量進(jìn)行求解，先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解出各面法向量，利用向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角之間關(guān)系求解

試題解析：（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連接，，

∵，

∴，

又，

∴，

∴.………………………………5分

（Ⅱ）平面且交于，，

∴，則可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

又，為正三角形，

∴，.

設(shè)為平面的法向量，則，

∴，∴，

取，則為平面的一個(gè)法向量，

又為平面的一個(gè)法向量，

∴，

則二面角的余弦值為.…………………12分