【題目】已知向量 ,若f(x)=mn. (I)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(II)己知△ABC的三內(nèi)角A,B,C對邊分別為a,b,c,且a=3,f ,sinC=2sinB,求A,c,b的值.
【答案】解:(I)f(x)=(sinx﹣ cosx)sin( +x)+ =(sinx﹣ cosx)cosx+ =sinxcosx﹣ cos2x+
= sin2x﹣ cos2x=sin(2x﹣ ),
令2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ 得﹣ +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間是[﹣ +kπ, +kπ],k∈Z.
(II)∵f( + )=sin(A﹣ )= ,
且﹣ <A﹣ < ,
∴A﹣ = ,即A= .
∵sinC=2sinB,∴c=2b,
又a=3,由余弦定理得cosA= = = ,
解得b= ,∴c=2 .
綜上,A= ,b= ,c=2 .
【解析】(I)根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式得出f(x)解析式,使用三角恒等變換化簡,利用正弦函數(shù)的單調(diào)性列不等式解出;(II)根據(jù)A的范圍和f( )計算A,利用正弦定理和余弦定理求出b,c.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,多面體ABCDEF中,四邊形ABCD是矩形,EF∥AD,F(xiàn)A⊥面ABCD,AB=AF=EF=1,AD=2,AC交BD于點(diǎn)P
(1)證明:PF∥面ECD;
(2)求二面角B﹣EC﹣A的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分分)已知圓有以下性質(zhì):
①過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程是.
②若為圓外一點(diǎn),過作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為,則直線的方程為.
③若不在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)為圓外一點(diǎn),過作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為,則垂直,即,且平分線段.
(1)類比上述有關(guān)結(jié)論,猜想過橢圓上一點(diǎn)的切線方程(不要求證明);
(2)過橢圓外一點(diǎn)作兩直線,與橢圓相切于兩點(diǎn),求過兩點(diǎn)的直線方程;
(3)若過橢圓外一點(diǎn)(不在坐標(biāo)軸上)作兩直線,與橢圓相切于兩點(diǎn),求證:為定值,且平分線段.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《城市規(guī)劃管理意見》里面提出“新建住宅要推廣街區(qū)制,原則上不再建設(shè)封閉住宅小區(qū),已建成的封閉小區(qū)和單位大院要逐步打開”,這個消息在網(wǎng)上一石激起千層浪,各種說法不一而足.某網(wǎng)站為了解居民對“開放小區(qū)”認(rèn)同與否,從歲的人群中隨機(jī)抽取了人進(jìn)行問卷調(diào)查,并且做出了各個年齡段的頻率分布直方圖(部分)如圖所示,同時對人對這“開放小區(qū)”認(rèn)同情況進(jìn)行統(tǒng)計得到下表:
(Ⅰ)完成所給的頻率分布直方圖,并求的值;
(Ⅱ)如果從兩個年齡段中的“認(rèn)同”人群中,按分層抽樣的方法抽取6人參與座談會,然后從這6人中隨機(jī)抽取2人作進(jìn)一步調(diào)查,求這2人的年齡都在內(nèi)的概率 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】三國時代吳國數(shù)學(xué)家趙爽所著《周髀算經(jīng)》中用趙爽弦圖給出了勾股定理的絕妙證明,如圖是趙爽弦圖,圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形,分別涂成朱色和黃色,若朱色的勾股形中較大的銳角α為 ,現(xiàn)向該趙爽弦圖中隨機(jī)地投擲一枚飛鏢,則飛鏢落在黃色的小正方形內(nèi)的概率為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的左右焦點(diǎn)分別為, ,左頂點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為, 的面積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線: 與橢圓相交于不同的兩點(diǎn), , 是線段的中點(diǎn).若經(jīng)過點(diǎn)的直線與直線垂直于點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C1: 的離心率為 ,拋物線C2:x2=4y的焦點(diǎn)F是C1的一個頂點(diǎn).
(I)求橢圓C1的方程;
(II)過點(diǎn)F且斜率為k的直線l交橢圓C1于另一點(diǎn)D,交拋物線C2于A,B兩點(diǎn),線段DF的中點(diǎn)為M,直線OM交橢圓C1于P,Q兩點(diǎn),記直線OM的斜率為k'.
(i)求證:kk'=﹣ ;
(ii)△PDF的面積為S1 , △QAB的面積為是S2 , 若S1S2=λk2 , 求實(shí)數(shù)λ的最大值及取得最大值時直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足 , .
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)如果s、t、r滿足|s﹣r|≤|t﹣r|,那么稱s比t更靠近r.當(dāng)a≥2且x≥1時,試比較 和ex﹣1+a哪個更靠近lnx,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】微信是現(xiàn)代生活進(jìn)行信息交流的重要工具,據(jù)統(tǒng)計,某公司名員工中的人使用微信,其中每天使用微信時間在一小時以內(nèi)的有人,其余每天使用微信在一小時以上.若將員工年齡分成青年(年齡小于歲)和中年(年齡不小于歲)兩個階段,使用微信的人中是青年人.若規(guī)定:每天使用微信時間在一小時以上為經(jīng)常使用微信,經(jīng)常使用微信的員工中是青年人.
(Ⅰ)若要調(diào)查該公司使用微信的員工經(jīng)常使用微信與年齡的關(guān)系,列出列聯(lián)表;
青年人 | 中年人 | 合計 | |
經(jīng)常使用微信 | |||
不經(jīng)常使用微信 | |||
合計 |
(Ⅱ)由列聯(lián)表中所得數(shù)據(jù),是否有的把握認(rèn)為“經(jīng)常使用微信與年齡有關(guān)”?
(Ⅲ)采用分層抽樣的方法從“經(jīng)常使用微信”的人中抽取人,從這人中任選人,求事件 “選出的人均是青年人”的概率.
附:
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