【題目】已知函數(shù),(x0).

1)當(dāng)0ab,且fa)=fb)時(shí),求證:ab1

2)是否存在實(shí)數(shù)a,bab),使得函數(shù)yfx)的定義域、值域都是[a,b],若存在,則求出ab的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

3)若存在實(shí)數(shù)a,bab),使得函數(shù)yfx)的定義域?yàn)?/span>[ab]時(shí),值域?yàn)?/span>[ma,mb]m≠0),求m的取值范圍.

【答案】1)證明見詳解;(2)不存在適合條件的實(shí)數(shù)ab,證明見詳解;(3

【解析】

1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,初步判斷1的大小關(guān)系,根據(jù)fa)=fb)得到等量關(guān)系,用均值不等式進(jìn)行處理;

(2)對(duì)與1的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論,尋找滿足題意的

(3)對(duì)的取值進(jìn)行分類討論,利用函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)行求解.

1)證明:∵x0,∴

fx)在(01)上為減函數(shù),在(1+∞)上是增函數(shù).

0ab,且fa)=fb),

可得 0a1b,

2aba+b

,即ab1

2)不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a,b

若存在滿足條件的實(shí)數(shù)a,b,使得函數(shù)y的定義域、值域都是[a,b],

a0,

①當(dāng)a,b∈(0,1)時(shí),在(0,1)上為減函數(shù).

,即,解得ab

故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a,b

②當(dāng)a,b[1,+∞)時(shí),在(1,+∞)上是增函數(shù).

,即

此時(shí)a,b是方程x2x+10的根,此方程無(wú)實(shí)根.

故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a,b

③當(dāng)a∈(0,1),b[1,+∞)時(shí),

由于1[ab],而f1)=0[a,b]

故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a,b

綜上可知,不存在適合條件的實(shí)數(shù)a,b

3)若存在實(shí)數(shù)a,bab),

使得函數(shù)yfx)的定義域?yàn)?/span>[a,b]時(shí),值域?yàn)?/span>[ma,mb]

a0,m0

①當(dāng)a,b∈(0,1)時(shí),由于fx)在(0,1)上是減函數(shù),

此時(shí)得a,b異號(hào),不符合題意,所以a,b不存在.

②當(dāng)a∈(0,1)或b[1+∞)時(shí),

由( 2)知0在值域內(nèi),值域不可能是[mamb]所以a,b不存在.

故只有a,b[1+∞).

[1,+∞)上是增函數(shù),

,即

a,b是方程mx2x+10的兩個(gè)根,

即關(guān)于x的方程mx2x+10有兩個(gè)大于1的實(shí)根.

設(shè)這兩個(gè)根為x1x2,則x1+x2,x1x2

,即

解得

m的取值范圍是

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②每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)的概率為:

獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)(單位:元)

概率

市食品安全檢測(cè)部門預(yù)計(jì)參加此次活動(dòng)的家長(zhǎng)約5000人,請(qǐng)依據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)此次活動(dòng)可能贈(zèng)送出多少話費(fèi)?

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