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如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱長都相等，M、E分別是和AB1的中點，點F在BC上且滿足BF∶FC=1∶3.

(1)求證：BB1∥平面EFM；
(2)求四面體的體積.

（1）見解析；（2）．

解析試題分析：（1）要證線面平行，一般是在平面內找（證）一條直線與待證直線平行，然后由線面平行的判定定理可得結論，本題中平行線很容易找到，因為都是相應線段上的中點，因此顯然有∥．（2）三棱錐的體積公式是，由于三梭錐的四個面都是三角形，故我們可以恰當地選取底面，以使得高易求（即熟知的換底法），本題中三梭錐，我們就可以以為底，而這時高就是，而高的垂直的證明可由正三梭錐的定義證得.
試題解析：(1)證明：連結EM、MF，∵M、E分別是正三棱柱的棱AB和AB1的中點，
∴BB1∥ME，                                   3分
又BB1平面EFM，∴BB1∥平面EFM.              6分
（2）正三棱柱中，由（1），所以，             8分
根據條件得出，所以，10分
又，因此.  12分
考點：（1）線面平行；（2）棱錐的體積.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45，點E、F分別為棱AB、PD的中點．

（1）求證：AF∥平面PCE；
（2）求三棱錐C－BEP的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱柱中，AC⊥BC，AB⊥，，D為AB的中點，且CD⊥。

（Ⅰ）求證：平面⊥平面ABC；
（2）求多面體的體積。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，PA平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，PA=AB=，AD=1，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．

(I)求三棱錐E—PAD的體積；
(II)試問當點E在BC的何處時，有EF//平面PAC；
(1lI)證明：無論點E在邊BC的何處，都有PEAF．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知半徑為的球內有一個內接正方體（即正方體的頂點都在球面上）.
（1）求此球的體積；
（2）求此球的內接正方體的體積；
（3）求此球的表面積與其內接正方體的全面積之比.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱柱中，側棱底面，，為的中點，.

（Ⅰ）求證：//平面；
（Ⅱ）設，求四棱錐的體積.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在三棱錐中，側棱長均為，底邊，，，、分別為、的中點.

（1）求三棱錐的體積；
（2）求二面角的平面角.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，三棱柱中，側棱與底面垂直，，，分別是的中點

（1）求證：∥平面；
（2）求證：⊥平面；
（3）求三棱錐的體積的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

一個多面體的直觀圖、正視圖、側視圖、俯視圖如圖所示，M、N分別為A1B、B1C1的中點.

(1)求證：MN//平面ACC1A1；
(2)求證：MN^平面A1BC.

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