Question

已知點A（0，-3），O為坐標(biāo)原點，動點P（x，y）滿足|PA|=2|PO|．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）若關(guān)于直線y=k（x-1）對稱的兩點M，N在動點P的軌跡上，且直線MN與x²+y²=1相切，試求直線MN的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），進而表示出|PA|和|PO|，根據(jù)|PA|=2|PO|，求得點P的軌跡方程；
（2）設(shè)出與直線y=k（x-1）垂直的直線方程為y=-

1

k

x+b，和x²+y²-2y-3=0聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系得到M，N的橫縱坐標(biāo)的和，求得M，N的中點坐標(biāo)，代入直線y=k（x-1）求k值，再由直線MN和圓相切求b，則答案可求．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y），則|PA|=

x2+(y+3)2

，|PO|=

x2+y2

．
由|PA|=2|PO|，得

x2+(y+3)2

=2

x2+y2

．
整理得：x²+y²-2y-3=0；
（2）設(shè)與直線y=k（x-1）垂直的直線方程為y=-

1

k

x+b，即x+ky-kb=0．
聯(lián)立

y=- 1 k x+b x2+y2-2y-3=0

，得(1+

1

k2

)x2-

2

k

(b+1)x+b2-2b-3=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x1+x2=

2k(b+1)

k2+1

，x1x2=

k2(b2-2b-3)

k2+1

．
∴y1+y2=-

1

k

(x1+x2)+2b=-

1

k

•

2k(b+1)

k2+1

+2b=

2k2b-2

k2+1

．
∵兩點M，N關(guān)于直線y=k（x-1）對稱，
∴

k2b-1

k2+1

=k(

kb+k

k2+1

-1)，整理得：k³-k²+k-1=0，解得k=1．
∴與直線y=k（x-1）垂直的直線方程為x+y-b=0．
又直線MN與x²+y²=1相切，
∴

|-b|

2

=1，解得b=±

2

．
∴直線MN的方程為x-y±

2

=0．

點評：本題考查了軌跡方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，解答此類問題常采用“設(shè)而不求”的解題思想方法，即利用直線和圓錐曲線的關(guān)系聯(lián)立方程組，化為關(guān)于x（或y）的方程后利用根與系數(shù)的關(guān)系解題，考查了學(xué)生的計算能力，在高考試題中往往以壓軸題的形式出現(xiàn)．