Question

如圖，已知點(diǎn)A（0，-3），動點(diǎn)P滿足|PA|=2|PO|，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求動點(diǎn)P的軌跡方程．
（Ⅱ）記（Ⅰ）中所得的曲線為C．過原點(diǎn)O作兩條直線l₁：y=k₁x，l₂：y=k₂x分別交曲線C于點(diǎn)E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）、G（x₃，y₃）、H（x₄，y₄）（其中y₂＞0，y₄＞0）．求證：

k1x1x2

x1+x2

=

k2x3x4

x3+x4

；
（III）對于（Ⅱ）中的E、F、G、H，設(shè)EH交x軸于點(diǎn)Q，GF交x軸于點(diǎn)R．求證：|OQ|=|OR|．（證明過程不考慮EH或GF垂直于x軸的情形）

Answer 1

分析：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），進(jìn)而表示出|PA|和|PO|，根據(jù)|PA|=2|PO|，求的點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）將直線EF和GH的方程分別代入圓C方程，利用韋達(dá)定理分別求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和與之積，進(jìn)而代入

k1x1x2

x1+x2

和

k2x3x4

x3+x4

，證明原式．
（3）設(shè)點(diǎn)Q（q，0），點(diǎn)Q（r，0），由E、Q、H三點(diǎn)共線求得q的表達(dá)式，根據(jù)F、R、G三點(diǎn)共線求得r的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)（2）中的

k1x1x2

x1+x2

=

k2x3x4

x3+x4

整理得

(k1-k2)x2x3

k1x2-k2x3

+

(k1-k2)x1x4

k1x1-k2x4

=0，進(jìn)而可知q+r=0，所以|q|=|r|，即|OQ|=|OR|．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P（x，y），依題意可得

x2+(y+3)2

=2

x2+y2

整理得x²+y²-2y-3=0
故動點(diǎn)P的軌跡方程為x²+y²-2y-3=0．
（Ⅱ）將直線EF的方程y=k₁x代入圓C方程
整理得（k₁²+1）x²-2k₁x-3=0
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=

2k1

k12+1

，x1x2=-

3

k12+1

①
將直線GH的方程y=k₂x代入圓C方程，
同理可得x3+x4=

2k2

k22+1

，x3x4=-

3

k22+1

②
由①、②可得

k1x1x2

x1+x2

=-

3

2

=

k2x3x4

x3+x4

，所以結(jié)論成立．
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)Q（q，0），點(diǎn)Q（r，0），由E、Q、H三點(diǎn)共線
得

x1-q

k1x1

=

x4-q

k2x4

，解得q=

(k1-k2)x1x4

k1x1-k2x4

由F、R、G三點(diǎn)共線
同理可得r=

(k1-k2)x2x3

k1x2-k2x3

由

k1x1x2

x1+x2

=

k2x3x4

x3+x4

變形得

x2x3

k1x2-k2x3

=

-x1x4

k1x1-k2x4

即

(k1-k2)x2x3

k1x2-k2x3

+

(k1-k2)x1x4

k1x1-k2x4

=0，
從而q+r=0，所以|q|=|r|，即|OQ|=|OR|．

點(diǎn)評：本題主要考查了圓方程得綜合應(yīng)用．涉及直線與圓的關(guān)系常需要把直線方程與圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理來解決問題．