【題目】已知圓和點.

1)過點向圓引切線,求切線的方程;

2)求以點為圓心,且被直線截得的弦長為8的圓的方程;

3)設(shè)為(2)中圓上任意一點,過點向圓引切線,切點為,試探究:平面內(nèi)是否存在一定點,使得為定值?若存在,請求出定點的坐標,并指出相應(yīng)的定值;若不存在,請說明理由.

【答案】1;(2;(3)存在;定點時,定值為或定點時,定值為.

【解析】

1)討論斜率是否存在:當斜率不存在時,易判斷為圓的切線;當斜率存在時,設(shè)出直線方程,由圓心到直線距離等于半徑,即可求得斜率,進而確定直線方程.

2)由點到直線距離公式可先求得點到直線的距離,再根據(jù)所得弦長和垂徑定理,即可確定半徑,進而得圓的方程;

3)假設(shè)存在定點,使得為定值,設(shè),,根據(jù)切線長定理及兩點間距離公式表示出,代入并結(jié)合圓M的方程,化簡即可求得,進而代入整理的方程可得關(guān)于的一元二次方程,解方程即可確定的值,即可得定點坐標及的值.

1)若過點的直線斜率不存在,直線方程為,為圓的切線;

當切線的斜率存在時,設(shè)直線方程為

,

∴圓心到切線的距離為,解得,

∴直線方程為

綜上切線的方程為.

2)點到直線的距離為

∵圓被直線截得的弦長為8,∴,

∴圓的方程為.

3)假設(shè)存在定點,使得為定值,設(shè),,

∵點在圓上,

,則

為圓的切線,

,∴,

,

整理得

若使對任意恒成立,則,

,代入得

化簡整理得,解得

∴存在定點,此時為定值或定點,此時為定值.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】樹立和踐行綠水青山就是金山銀山,堅持人與自然和諧共生的理念越來越深入人心,已形成了全民自覺參與,造福百姓的良性循環(huán).據(jù)此,某網(wǎng)站推出了關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)進展情況的調(diào)查,大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明,參與調(diào)查者中關(guān)注此問題的約占80%.現(xiàn)從參與調(diào)查的人群中隨機選出人,并將這人按年齡分組:第1,第2,第3,第4,第5,得到的頻率分布直方圖如圖所示:

1)求的值;

2)求出樣本的平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表);

3)現(xiàn)在要從年齡較小的第12組中用分層抽樣的方法抽取人,再從這人中隨機抽取人進行問卷調(diào)查,求第2組中抽到人的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】關(guān)于異面直線a,b,下列四個命題正確的有(

A.過直線a有且僅有一個平面β,使bβ

B.過直線a有且僅有一個平面β,使b//β

C.在空間存在平面β,使a//β,b//β

D.在空間不存在平面β,使aβbβ

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知梯形ABCD中,,如圖(1)所示.現(xiàn)將△ABC沿邊BC翻折至A'BC,記二面角A'—BCD的大小為θ.

1)當θ90°時,如圖(2)所示,過點B作平面與AD垂直,分別交于點E,F,求點E到平面的距離;

2)當時,如圖(3)所示,求二面角的正切值

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(本小題10分)選修4—4:坐標系與參數(shù)方程

已知曲線C1的參數(shù)方程為t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ=2sinθ。

)把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程;

)求C1C2交點的極坐標(ρ≥0,0≤θ

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某企業(yè)共有員工10000人,下圖是通過隨機抽樣得到的該企業(yè)部分員工年收入(單位:萬元)頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖計算樣本的平均數(shù).并以此估算該企業(yè)全體員工中年收入不低于樣本平均數(shù)的人數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)以這數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表);

(2)若抽樣調(diào)查中收入在萬元員工有2人,求在收入在萬元的員工中任取3人,恰有2位員工收入在萬元的概率;

(3)若抽樣調(diào)查的樣本容量是400人,在這400人中:年收入在萬元的員工中具有大學(xué)及大學(xué)以上學(xué)歷的有,年收入在萬元的員工中不具有大學(xué)及大學(xué)以上學(xué)歷的有,將具有大學(xué)及大學(xué)以上學(xué)歷和不具有大學(xué)及大學(xué)以上學(xué)歷的員工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認為具有大學(xué)及大學(xué)以上學(xué)歷和不具有大學(xué)及大學(xué)以上學(xué)歷的員工收入有差異?

具有大學(xué)及大學(xué)以上學(xué)歷

不具有大學(xué)及大學(xué)以上學(xué)歷

合計

萬元員工

萬元員工

合計

附:;

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】《最強大腦》是江蘇衛(wèi)視引進德國節(jié)目《SuperBrain》而推出的大型科學(xué)競技真人秀節(jié)目.節(jié)目籌備組透露挑選選手的方式:不但要對空間感知、照相式記憶進行考核,而且要讓選手經(jīng)過名校最權(quán)威的腦力測試,120分以上才有機會入圍.某重點高校準備調(diào)查腦力測試成績是否與性別有關(guān),在該高校隨機抽取男、女學(xué)生各100名,然后對這200名學(xué)生進行腦力測試.規(guī)定:分數(shù)不小于120分為“入圍學(xué)生”,分數(shù)小于120分為“未入圍學(xué)生”.已知男生入圍24人,女生未入圍80.

1)根據(jù)題意,填寫下面的列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有以上的把握認為腦力測試后是否為“入圍學(xué)生”與性別有關(guān);

性別

入圍人數(shù)

未入圍人數(shù)

總計

男生

24

女生

80

總計

2)用分層抽樣的方法從“入圍學(xué)生”中隨機抽取11名學(xué)生,然后再從這11名學(xué)生中抽取3名參加某期《最強大腦》,設(shè)抽到的3名學(xué)生中女生的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附:,其中.

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】新冠肺炎疫情期間,為確保停課不停學(xué),各校精心組織了線上教學(xué)活動.開學(xué)后,某校采用分層抽樣的方法從三個年級的學(xué)生中抽取一個容量為150的樣本進行關(guān)于線上教學(xué)實施情況的問卷調(diào)查.已知該校高一年級共有學(xué)生660人,抽取的樣本中高二年級有50人,高三年級有45人.下表是根據(jù)抽樣調(diào)查情況得到的高二學(xué)生日睡眠時間(單位:h)的頻率分布表.

分組

頻數(shù)

頻率

5

0.10

8

0.16

x

0.14

12

y

10

0.20

z

合計

50

1

1)求該校學(xué)生總數(shù);

2)求頻率分布表中實數(shù)x,y,z的值;

3)已知日睡眠時間在區(qū)間[66.5)5名高二學(xué)生中,有2名女生,3名男生,若從中任選2人進行面談,則選中的2人恰好為一男一女的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)當時,討論函數(shù)的單調(diào)性;

2)若函數(shù)在區(qū)間上無零點,求的取值范圍.

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