【題目】設函數(shù)f(x)= x2+ax﹣lnx(a∈R). (Ⅰ)當a=1時,求函數(shù)f(x)的極值;
(Ⅱ)當a>1時,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅲ)若對任意a∈(3,4)及任意x1 , x2∈[1,2],恒有 m+ln2>|f(x1)﹣f(x2)|成立,求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)函數(shù)的定義域為(0,+∞) 當a=1時,f(x)=x﹣lnx,則f′(x)=
令f′(x)>0,可得x<0或x>1,∵x>0,∴x>1;
令f′(x)<0,可得0<x<1,∵x>0,∴0<x<1;
∴x=1時,函數(shù)f(x)取得極小值為1;
(Ⅱ)f′(x)=
當 ,即a=2時, ,f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù);
當 ,即a>2時,令f′(x)<0,得 或x>1;令f′(x)>0,得
當 ,即1<a<2時,令f′(x)<0,得0<x<1或x> ;令f′(x)>0,得
綜上,當a=2時,f(x)在定義域上是減函數(shù);
當a>2時,f(x)在(0, )和(1,+∞)上單調(diào)遞減,在( ,1)上單調(diào)遞增;
當1<a<2時,f(x)在(0,1)和( ,+∞)上單調(diào)遞減,在(1, )上單調(diào)遞增;
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,當a∈(3,4)時,f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減
∴當x=1時,f(x)有最大值,當x=2時,f(x)有最小值
∴
∴對任意a∈(3,4),恒有
∴m>
構(gòu)造函數(shù) ,則
∵a∈(3,4),∴
∴函數(shù) 在(3,4)上單調(diào)增
∴g(a)∈(0, )
∴m≥ .
【解析】(Ⅰ)確定函數(shù)的定義域,利用導數(shù)的正負,確定函數(shù)的單調(diào)性,從而可求函數(shù)的極值;(Ⅱ)求導函數(shù)f′(x)= ,分類討論,利用導數(shù)的正負,確定函數(shù)的單調(diào)性; (Ⅲ)由(Ⅱ)知,當a∈(3,4)時,f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減,從而可得 對任意a∈(3,4),恒有 ,等價于m> ,求出右邊函數(shù)的值域,即可求得結(jié)論.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人在相同條件下各打靶10次,每次打靶所得的環(huán)數(shù)如圖所示.
填寫下表,請從下列角度對這次結(jié)果進行分析.
命中9環(huán)及以上的次數(shù) | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 方差 | |
甲 | ||||
乙 |
(1)命中9環(huán)及以上的次數(shù)(分析誰的成績好些);
(2)平均數(shù)和中位數(shù)(分析誰的成績好些);
(3)方差(分析誰的成績更穩(wěn)定);
(4)折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)的走勢(分析誰更有潛力).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)),圓的標準方程為.以坐標原點為極點, 軸正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求直線和圓的極坐標方程;
(2)若射線與的交點為,與圓的交點為,且點恰好為線段的中點,求的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在正整數(shù)數(shù)列中,由1開始依次按如下規(guī)則,將某些整數(shù)染成紅色,先染1;再染3個偶數(shù)2,4,6;再染6后面最鄰近的5個連續(xù)奇數(shù)7,9,11,13,15;再染15后面最鄰近的7個連續(xù)偶數(shù)16,18,20,22,24,26,28;再染此后最鄰近的9個連續(xù)奇數(shù)29,31,…,45;按此規(guī)則一直染下去,得到一紅色子數(shù)列:1,2,4,6,7,9,11,13,15,16,……,則在這個紅色子數(shù)列中,由1開始的第2019個數(shù)是( )
A. 3972 B. 3974 C. 3991 D. 3993
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某單位安排位員工在春節(jié)期間大年初一到初七值班,每人值班天,若位員工中的甲、乙排在相鄰的兩天,丙不排在初一,丁不排在初七,則不同的安排方案共有_______
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為比較甲、乙兩地某月14時的氣溫狀況,隨機選取該月中的5天,將這5天中14時的氣溫數(shù)據(jù)(單位:℃)制成如圖所示的莖葉圖.考慮以下結(jié)論:
①甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫;
②甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫;
③甲地該月14時的平均氣溫的標準差小于乙地該月14時的氣溫的標準差;
④甲地該月14時的平均氣溫的標準差大于乙地該月14時的氣溫的標準差.
其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計結(jié)論的標號為 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)g(x)=a﹣x2( ≤x≤e,e為自然對數(shù)的底數(shù))與h(x)=2lnx的圖象上存在關(guān)于x軸對稱的點,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.[1, +2]
B.[1,e2﹣2]
C.[ +2,e2﹣2]
D.[e2﹣2,+∞)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一支車隊有輛車,某天依次出發(fā)執(zhí)行運輸任務。第一輛車于下午時出發(fā),第二輛車于下午時分出發(fā),第三輛車于下午時分出發(fā),以此類推。假設所有的司機都連續(xù)開車,并都在下午時停下來休息.
到下午時,最后一輛車行駛了多長時間?
如果每輛車的行駛速度都是,這個車隊當天一共行駛了多少?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線:(為參數(shù)),曲線:(為參數(shù)).
(1)設與相交于,兩點,求的值;
(2)若把曲線上各點的橫坐標壓縮為原來的,縱坐標壓縮為原來的,得到曲線,設點是曲線上的一個動點,求它到直線的距離的最小值.
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