已知函數(shù)f(x)=log(x+)(a＞1,x≥1).?

(1)求它的反函數(shù)f -1 (x),并指出f -1 (x)的定義域;

(2)當(dāng)1＜a＜2時(shí),證明f -1 (n)＜ (n∈N*).

(1)解析:∵ (a＞1,x≥1),?

∴有x+ =ay,兩邊平方化簡(jiǎn)可得=ay-x,即有x2-1=a2y-2ayx+x2,

也即.?

∴f　-1 (x)=(ax+a-x).?

又∵a＞1,x≥1,?

∴可知x+≥1.?

由y=logax，當(dāng)a＞1時(shí)，在x∈(0,+∞)上是增函數(shù)可知≥0.?

∴y=f(x)的反函數(shù)為f -1(x)=  (ax+a -x),其定義域?yàn)?I >x∈［0，+∞).

(2)證明:用比較法.?

∵f -1(n)-  (2n+2-n)=  (an+a -n)-  (2n+2-n)

=,?

又由于1＜a＜2,?

∴an-2n＜0,(2a)n-1＞0,an＞0.?

則可知＜0,?

即f　-1(n)-＜0.?

故f-1(n)＜  (2n+2-n)(n∈N*).

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函數(shù)f（x）在P（0，f（0））的切線方程為y=5x+1，求實(shí)數(shù)a，b的值：
（2）當(dāng)a＜3時(shí)，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式和切線l的方程；
（2）當(dāng)x∈[
1
e
，e]時(shí)（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a為常數(shù)），直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數(shù)f（x）的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當(dāng)k＞0時(shí)，試討論方程f（1+x2）-g（x）=k的解的個(gè)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，若過(guò)兩點(diǎn)（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點(diǎn)在曲線y=f（x）上，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b為實(shí)數(shù)，x∈R，a∈R．
（1）當(dāng)1＜a＜2時(shí)，若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的條件下，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（3）試討論函數(shù)F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

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