【題目】某校舉行運動會,其中三級跳遠(yuǎn)的成績在8.0米(四舍五入,精確到0.1米)以上的進(jìn)入決賽,把所得數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后,分成6組畫出頻率分布直方圖的一部分(如圖),已知從左到右前5個小組的頻率分別為0.04,0.10,0.14,0.28,0.30,第6小組的頻數(shù)是7.
(Ⅰ)求進(jìn)入決賽的人數(shù);
(Ⅱ)若從該校學(xué)生(人數(shù)很多)中隨機(jī)抽取兩名,記X表示兩人中進(jìn)入決賽的人數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)經(jīng)過多次測試后發(fā)現(xiàn),甲成績均勻分布在8~10米之間,乙成績均勻分布在9.5~10.5米之間,現(xiàn)甲,乙各跳一次,求甲比乙遠(yuǎn)的概率.
【答案】解:(Ⅰ)第6小組的頻率為1﹣(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14, ∴總?cè)藬?shù)為 (人).
∴第4、5、6組成績均進(jìn)入決賽,人數(shù)為(0.28+0.30+0.14)×50=36(人)
即進(jìn)入決賽的人數(shù)為36
(Ⅱ)由題意知X的可能取值為0,1,2,進(jìn)入決賽的概率為 ,
∴X~ , ,
P(X=1)= ,
∴所求分布列為:
X | 0 | 1 | 2 |
P |
,兩人中進(jìn)入決賽的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為
(Ⅲ)設(shè)甲、乙各跳一次的成績分別為x、y米,
則基本事件滿足的區(qū)域為: ,
事件A“甲比乙遠(yuǎn)的概率”滿足的區(qū)域為x>y,如圖所示
∴由幾何概型P(A)= = .
即甲比乙遠(yuǎn)的概率為
【解析】(Ⅰ)由頻率分直方圖求出第6小組的頻率,從而求出總?cè)藬?shù),進(jìn)而得到第4、5、6組成績均進(jìn)入決賽,由此能求出進(jìn)入決賽的人數(shù).(Ⅱ)由題意知X的可能取值為0,1,2,進(jìn)入決賽的概率為 ,從而X~ ,由此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望.(Ⅲ)設(shè)甲、乙各跳一次的成績分別為x、y米,則基本事件滿足的區(qū)域為: ,由此利用幾何概型能求出甲比乙遠(yuǎn)的概率.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面是正方形,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD= AD,若E、F分別為PC、BD的中點.
(Ⅰ) 求證:EF∥平面PAD;
(Ⅱ) 求證:EF⊥平面PDC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P—ABCD中,PD底面ABCD,AB//DC,ADDC,AB=AD=1,DC=2,PD=,M為棱PB的中點.
(1)證明:DM平面PBC;
(2)求二面角A—DM—C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 =1(a>b>0)的離心率為 ,坐標(biāo)原點O到過點A(0,﹣b)和B(a,0)的直線的距離為 .又直線y=kx+m(k≠0,m≠0)與該橢圓交于不同的兩點C,D.且C,D兩點都在以A為圓心的同一個圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)求△ABC面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓O的方程為x2+y2=4,P是圓O上的一個動點,若線段OP的垂直平分線總是被平面區(qū)域|x|+|y|≥a覆蓋,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.0≤a≤2
B.
C.0≤a≤1
D.a≤1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,且滿足:.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅲ)設(shè),求數(shù)列的前項和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列函數(shù)中,奇函數(shù)的個數(shù)為( ) ①y=x2sinx ②y=sinx , x∈ ③y=xcosx , x∈ ④y=tanx .
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且滿足 .
(1)計算a1 , a2 , a3的值,并猜想{an}的通項公式;
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明{an}的通項公式.
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