【題目】已知數(shù)列滿足，．求證：當(dāng)時，

（Ⅰ）；

（Ⅱ）當(dāng)時，有；

（Ⅲ）當(dāng)時，有．

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）通過數(shù)學(xué)歸納法，即可證明；

（Ⅱ）先通過構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性，對遞推公式放縮，得到，再利用累乘法即可證明；

（Ⅲ）通過構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)證明在上恒成立，從而得，再根據(jù)放縮法可得，變形得到，由累乘法即可證出．

（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

①當(dāng)時，成立；

②假設(shè)當(dāng)時，有成立，則當(dāng)時，有，又，故，綜上，可知當(dāng)時，均有．

（Ⅱ）設(shè)，則恒成立，在上單調(diào)遞增，所以，即．

因?yàn)?/span>，即，

當(dāng)時，由累乘法可得，，

又，即，所以；

因?yàn)?/span>，即，

當(dāng)時，由累乘法可得，，

又，即，所以，

故當(dāng)時，有；

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知， ，即，且．

設(shè)，恒成立，

在上單調(diào)遞增，所以，所以，

因?yàn)?/span>，

即，且，

所以，即，

故有，變形為，

當(dāng)時，所以，

又，即，所以．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，由直三棱柱和四棱錐構(gòu)成的幾何體中，，平面平面

（I）求證：；

（II）若M為中點(diǎn)，求證：平面；

（III）在線段BC上（含端點(diǎn)）是否存在點(diǎn)P，使直線DP與平面所成的角為？若存在，求得值，若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知a，b，c，d∈R，矩陣A＝ 的逆矩陣A－1＝.若曲線C在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到直線y＝2x＋1，求曲線C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，、兩點(diǎn)分別是橢圓的上、下頂點(diǎn)，是等腰直角三角形，延長交橢圓于點(diǎn)，且的周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于、的動點(diǎn)，直線、與直線分別相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)，試問：外接圓是否恒過軸上的定點(diǎn)（異于點(diǎn)）？若是，求該定點(diǎn)坐標(biāo)；若否，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】新型冠狀病毒肺炎正在全球蔓延，對世界經(jīng)濟(jì)影響嚴(yán)重，中國疫情防控，復(fù)工復(fù)學(xué)恢復(fù)經(jīng)濟(jì)成為各國的榜樣，綿陽某商場在五一勞動節(jié)期間舉行促銷活動，根據(jù)市場調(diào)查，該商場決定從3種服裝商品、2種家電、4種日用商品中，選出3種商品進(jìn)行促銷活動.

（1）試求選出的3種商品至少有2種服裝商品的概率；

（2）商場對選的A商品采用的促銷方案是有獎銷售，即在該商品現(xiàn)價的基礎(chǔ)上將價格提高300元，同時允許顧客有3次抽獎的機(jī)會，若中獎，則每次中獎都可獲得一定數(shù)額的獎金，假設(shè)顧客每次抽獎時獲獎與否是等概率的，請問：商場應(yīng)將中獎獎金數(shù)額最高定為多少元，才能使促銷方案對自己有利？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在脫貧攻堅中，某市教育局定點(diǎn)幫扶前進(jìn)村戶貧困戶.駐村工作隊(duì)對這戶村民的貧困程度以及家庭平均受教育程度進(jìn)行了調(diào)査，并將該村貧困戶按貧困程度分為“絕對貧困戶”與“相對貧困戶”，同時按家庭平均受教育程度分為“家庭平均受教育年限年”與“家庭平均受教育年限年”，具體調(diào)査結(jié)果如下表所示：

平均受教育年限年

平均受教育年限年

總計

絕對貧困戶

10

40

50

相對貧困戶

20

30

50

總計

30

70

100

（1）為了參加扶貧辦公室舉辦的貧困戶“談心談話”活動，現(xiàn)通過分層抽樣從“家庭平均受教育年限年”的戶貧困戶中任意抽取戶，再從所抽取的戶中隨機(jī)抽取戶參加“談心談話”活動，求至少有戶是絕對貧困戶的概率；

（2）根據(jù)上述表格判斷：是否有的把握認(rèn)為貧困程度與家庭平均受教育程度有關(guān)？

參考公式：

參考數(shù)據(jù)：

0.050

0.010

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐，平面⊥平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，為的中點(diǎn).

（1）證明：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下表是我國大陸地區(qū)從2013年至2019年國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）近似值（單位：萬億元人民幣）的數(shù)據(jù)表格：

年份

2013

2014

2015

2016

2017

2018

2019

年份代號

1

2

3

4

5

6

7

中國大陸地區(qū)GDP：

（單位：萬億元人民幣）

關(guān)于的線性回歸方程（系數(shù)精確到）；

（Ⅱ）黨的十九大報告中指出：從2020年到2035年，在全面建成小康社會的基礎(chǔ)上，再奮斗15年，基本實(shí)視社會主義現(xiàn)代化．若到2035年底我國人口增長為億人，假設(shè)到2035年世界主要中等發(fā)達(dá)國家的人均國民生產(chǎn)總值的頻率直方圖如圖所示．

以（Ⅰ）的結(jié)論為依據(jù)，預(yù)測我國在2035年底人均國民生產(chǎn)總值是否可以超過假設(shè)的2035年世界主要中等發(fā)達(dá)國家的人均國民生產(chǎn)總值平均數(shù)的估計值．

參考數(shù)據(jù)：，．

參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知真命題:“函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)是奇函數(shù)”．

（Ⅰ）將函數(shù)的圖象向左平移1個單位,再向上平移2個單位,求此時圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式,并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)圖象對稱中心的坐標(biāo);

（Ⅱ）求函數(shù)圖象對稱中心的坐標(biāo);

（Ⅲ）已知命題:“函數(shù)的圖象關(guān)于某直線成軸對稱圖象”的充要條件為“存在實(shí)數(shù)和,使得函數(shù)是偶函數(shù)”．判斷該命題的真假．如果是真命題,請給予證明;如果是假命題,請說明理由,并類比題設(shè)的真命題對它進(jìn)行修改,使之成為真命題（不必證明）．

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