Question

【題目】某電視臺(tái)舉行一個(gè)比賽類型的娛樂節(jié)目，A、B兩隊(duì)各有六名選手參賽，將他們首輪的比賽成績作為樣本數(shù)據(jù)，繪制成莖葉圖如圖所示，為了增加節(jié)目的趣味性，主持人故意將A隊(duì)第六位選手的成績沒有給出，并且告知大家B隊(duì)的平均分比A隊(duì)的平均分多4分，同時(shí)規(guī)定如果某位選手的成績不少于21分，則獲得“晉級(jí)”．
（1）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，求出A隊(duì)第六位選手的成績；
（2）主持人從A隊(duì)所有選手成績中隨機(jī)抽2個(gè)，求至少有一個(gè)為“晉級(jí)”的概率；
（3）主持人從A、B兩隊(duì)所有選手成績分別隨機(jī)抽取2個(gè)，記抽取到“晉級(jí)”選手的總?cè)藬?shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)A隊(duì)第六位選手的成績?yōu)閤，

由題意得： （9+11+13+24+31+x= （11+12+21+25+27+36），

解得x=20，

∴A隊(duì)第六位選手的成績?yōu)?0．

（2）解：由（1）知A隊(duì)6位選手中成績不少于21分的有2位，即A隊(duì)6位選手中有2人獲得“晉級(jí)”．

主持人從A隊(duì)所有選手成績中隨機(jī)抽2個(gè)，基本事件總數(shù)n= =15，

至少有一個(gè)為“晉級(jí)”的概率p=1﹣ = ．

（3）解：由題意A隊(duì)6位選手中有2人獲得“晉級(jí)”，B隊(duì)6位選手中有4人獲得“晉級(jí)”，

主持人從A、B兩隊(duì)所有選手成績分別隨機(jī)抽取2個(gè)，記抽取到“晉級(jí)”選手的總?cè)藬?shù)為ξ，

則ξ的可能取值為0，1，2，3，4，

P（ξ=0）= = ，

P（ξ=1）= + = ，

P（ξ=2）= + + = ，

P（ξ=3）= + = ，

P（ξ=4）= = ，

∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P

Eξ= +3× +4× =2．

【解析】（1）設(shè)A隊(duì)第六位選手的成績?yōu)閤，利用莖葉圖及平均數(shù)的定義能求出A隊(duì)第六位選手的成績．（2）A隊(duì)6位選手中有2人獲得“晉級(jí)”．主持人從A隊(duì)所有選手成績中隨機(jī)抽2個(gè)，先求出基本事件總數(shù)，再由對立事件概率計(jì)算公式能求出至少有一個(gè)為“晉級(jí)”的概率．（3）由題意A隊(duì)6位選手中有2人獲得“晉級(jí)”，B隊(duì)6位選手中有4人獲得“晉級(jí)”，則ξ的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用頻率分布直方圖和離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達(dá)方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡稱分布列．