Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=eax﹣x，其中a≠0．
（1）若對一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合．
（2）在函數(shù)f（x）的圖象上取定兩點(diǎn)A（x1 ， f（x1）），B（x2 ， f（x2）（x1＜x2），記直線AB的斜率為K，問：是否存在x0∈（x1 ， x2），使f′（x0）＞k成立？若存在，求x0的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：若a＜0，則對一切x＞0，函數(shù)f（x）=eax﹣x＜1，這與題設(shè)矛盾，

∵a≠0，∴a＞0

∵f′（x）=aeax﹣1，令f′（x）=0，可得

令f′（x）＜0，可得 ，函數(shù)單調(diào)減；令f′（x）＞0，可得 ，函數(shù)單調(diào)增，

∴ 時(shí)，f（x）取最小值

∴對一切x∈R，f（x）≥1恒成立，則 ①

令g（t）=t﹣tlnt，則g′（t）=﹣lnt

當(dāng)0＜t＜1時(shí)，g′（t）＞0，g（t）單調(diào)遞增；當(dāng)t＞1時(shí)，g′（t）＜0，g（t）單調(diào)遞減

∴t=1時(shí)，g（t）取最大值g（1）=1

∴當(dāng)且僅當(dāng) =1，即a=1時(shí)，①成立

綜上所述，a的取值集合為{1}

（2）

解：由題意知，

令φ（x）=f′（x）﹣k= ，則

令F（t）=et﹣t﹣1，則F′（t）=et﹣1

當(dāng)t＜0時(shí)，F(xiàn)′（t）＜0，函數(shù)單調(diào)減；當(dāng)t＞0時(shí)，F(xiàn)′（t）＞0，函數(shù)單調(diào)增；

∴t≠0時(shí)，F(xiàn)（t）＞F（0）=0，即et﹣t﹣1＞0

∴ ，

∵ ＞0，

∴φ（x1）＜0，φ（x2）＞0

∴存在c∈（x1，x2），φ（c）=0

∵φ（x）單調(diào)遞增，故這樣的c是唯一的，且

當(dāng)且僅當(dāng)x∈（ ，x2）時(shí)，f′（x）＞k

綜上所述，存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）＞k成立，且x0的取值范圍為（ ，x2）

【解析】（1）先確定a＞0，再求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得 時(shí)，f（x）取最小值 故對一切x∈R，f（x）≥1恒成立，則 ，構(gòu)建新函數(shù)g（t）=t﹣tlnt，則g′（t）=﹣lnt，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，由此即可求得a的取值集合；（2）由題意知， ，構(gòu)建新函數(shù)φ（x）=f′（x）﹣k= ，則 ， ，構(gòu)建函數(shù)F（t）=et﹣t﹣1，從而可證明φ（x1）＜0，φ（x2）＞0，由此即可得到存在x0∈（x1 ， x2），使f′（x0）＞k成立．