【題目】已知函數(shù)f（x）= ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a∈R）． （Ⅰ）若曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=x2﹣2x，若對任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范圍．

【答案】解：（Ⅰ）∵函數(shù) ， ∴ （x＞0）．
∵曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，
∴f'（1）=f'（3），
即 ，
解得 ．
（Ⅱ） （x＞0）．
①當a≤0時，x＞0，ax﹣1＜0，
在區(qū)間（0，2）上，f'（x）＞0；
在區(qū)間（2，+∞）上f'（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2），
單調(diào)遞減區(qū)間是（2，+∞）．
②當 時， ，
在區(qū)間（0，2）和 上，f'（x）＞0；
在區(qū)間 上f'（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2）和 ，單調(diào)遞減區(qū)間是
③當 時， ，故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）．
④當 時， ，在區(qū)間 和（2，+∞）上，f'（x）＞0；
在區(qū)間 上f'（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是 和（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是 ．
（Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）max＜g（x）max ．
由已知，g（x）max=0，由（Ⅱ）可知，
①當 時，f（x）在（0，2]上單調(diào)遞增，
故f（x）max=f（2）=2a﹣2（2a+1）+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2，
所以，﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，
故 ．
②當 時，f（x）在 上單調(diào)遞增，
在 上單調(diào)遞減，
故 ．
由 可知 ，
2lna＞﹣2，﹣2lna＜2，
所以，﹣2﹣2lna＜0，f（x）max＜0，
綜上所述，a＞ln2﹣1．
【解析】（Ⅰ）由函數(shù) ，知 （x＞0）．由曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，能求出a的值．（Ⅱ） （x＞0）．根據(jù)a的取值范圍進行分類討論能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．（Ⅲ）對任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），等價于在（0，2]上有f（x）max＜g（x）max ． 由此能求出a的取值范圍．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=CC1 ， M、N分別為BB1、A1C1的中點．
（Ⅰ）求證：CB1⊥平面ABC1；
（Ⅱ）求證：MN∥平面ABC1 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓 的左、右焦點分別為F1 ， F2 ， 離心率為e，過F2的直線與橢圓的交于A，B兩點，若△F1AB是以A為頂點的等腰直角三角形，則e2=（ ）
A.3﹣2
B.5﹣3
C.9﹣6
D.6﹣4

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）是最小正周期2π的偶函數(shù)，f′（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)，當x∈[0，π]時，0＜f（x）＜1；當x∈（0，π），且x≠ 時，（x﹣ ）f′（x）＞0，則函數(shù)y=f（x）﹣sinx在[﹣2π，2π]上的零點個數(shù)為（ ）
A.2
B.4
C.5
D.8

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在區(qū)間[2，3]上有最大值4，最小值1，設(shè)f（x）= ．
（1）求a，b的值；
（2）不等式f（2x）﹣k2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）方程f（|2x﹣1|）+k（ ﹣3）有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】連續(xù)投擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，向量 與向量 的夾角記為α，則α 的概率為（ ）
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+2bx+c，且f（1）=f（3）=﹣1．設(shè)a＞0，將函數(shù)f（x）的圖象先向右平移a個單位長度，再向下平移a2個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象． （Ⅰ）若函數(shù)g（x）有兩個零點x1 ， x2 ， 且x1＜4＜x2 ， 求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[m，n]上的值域為[λ，μ]，若有 ，則稱該函數(shù)為“陡峭函數(shù)”．若函數(shù)g（x）在區(qū)間[a，2a]上為“陡峭函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線C：y2=4x，過焦點F作與x軸垂直的直線l1 ， C上任意一點P（x0 ， y0）（y0≠0）處的切線為l，l與l1交于M，l與準線交于N，則 = ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，角A，B，C對應的邊分別是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1． （Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面積S=5 ，b=5，求sinBsinC的值．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案