Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)F₁（0，-

3

），F(xiàn)₂（0，

3

）的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，直線y=kx+1與曲線C交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求出曲線C的方程；
（2）若k=1，求△AOB的面積；
（3）若

OA

⊥

OB

，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

分析：解：（1）設(shè)P（x，y），由題意可知，點(diǎn)P的軌跡是以F₁（0，-

3

），F(xiàn)₂（0，

3

）為焦點(diǎn)的橢圓，由題意可知，c=

3

，a=2，由a²-b²=c²可求b，從而可求橢圓方程
（2）當(dāng)k=1時(shí)，直線方程為y=x+1，聯(lián)立橢圓與直線方程可求A，B，利用兩點(diǎn)間距離公式可求AB，由點(diǎn)到直線的距離公式可求點(diǎn)O到直線L：y=x+1的距離d，代入面積公式S_△AOB=

1

2

×AB×d可求
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立方程

y=kx+1 x2+ y2 4 =1

，根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可得x1+x2=-

2k

4+k2

，x1x2=-

3

4+k2

，由y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1可求，由題意可知

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=0，代入可求k

解答：解：（1）設(shè)P（x，y），由題意可知，點(diǎn)P的軌跡是以F₁（0，-

3

），F(xiàn)₂（0，

3

）為焦點(diǎn)的橢圓
由c=

3

，2a=4即a=2
由a²-b²=c²可得，b=1
∴橢圓的方程為x2+

y2

4

=1（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
當(dāng)k=1時(shí)，直線方程為y=x+1
聯(lián)立

y=x+1 x2+  y2 4 =1

可得5x²+2x-3=0
解方程可得，x=-1或x=

3

5

從而可得A（-1，0），B(

3

5

，

8

5

)（6分）
∵點(diǎn)O到直線L：y=x+1的距離d=

2

2

，AB=

(-1- 3 5 )2+(0- 8 5 )2

=

8 2

5

，
S_△AOB=

1

2

×AB×d=

1

2

×

8 2

5

×

2

2

=

4

5

（8分）
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立方程

y=kx+1 x2+ y2 4 =1

可得，（4+k²）x²+2kx-3=0（10分）
則x1+x2=-

2k

4+k2

，x1x2=-

3

4+k2

，
∵

OA

⊥

OB

∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=0（12分）
∵A，B在直線y=kx+1上
∴y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=

-3k2

4+k2

-

2k2

4+k2

+1=

4-4k2

4+k2

（14分）
∴-

3

4+k2

+

4-4k2

4+k2

=0
∴4k²-1=0
∴k=±

1

2

（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用橢圓的定義求解橢圓的方程，直線與橢圓的相交關(guān)系及方程 的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，屬于直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題