Question

已知雙曲線方程為，橢圓C以該雙曲線的焦點為頂點，頂點為焦點。
（1）當(dāng)，時，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，直線：與軸交于點P，與橢圓交與A，B兩點，若O為坐標(biāo)原點，與面積之比為2：1，求直線的方程；
（3）若，橢圓C與直線：有公共點，求該橢圓的長軸長的最小值。

Answer 1

解：（1）設(shè)雙曲線的焦點為，則橢圓C的方程為
，其中
將代入，可得橢圓C的方程為
；
（2）根據(jù)題意，設(shè)點A，B的坐標(biāo)分別為，則，可
知。
聯(lián)立橢圓和直線的方程，得
，消元得，可知
，，即異號，所以。
代入上式，得
消元，得。
所以直線方程為
（3）聯(lián)立橢圓和直線的方程，得方程組
，其中，
消去，得到方程
，
因為橢圓與直線有公共點，所以
△，
解得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時長軸長最短，是。

略