【題目】如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，曲線由中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的半橢圓和以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的半圓構(gòu)成，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）寫出曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）已知射線與曲線交于點(diǎn)，點(diǎn)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）分別寫出曲線的上、下兩半部分的直角坐標(biāo)方程，結(jié)合極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可求解；

（2）把射線代入曲線的極坐標(biāo)方程，求得點(diǎn)的極經(jīng)，然后寫出的面積，求得其最大值即可.

（1）由題設(shè)可知，曲線上半部分的直角坐標(biāo)方程為，

所以，曲線上半部分的極坐標(biāo)方程為

曲線下半部分的直角坐標(biāo)方程為，

所以，曲線下半部分的極坐標(biāo)方程為，

故曲線的極坐標(biāo)方程為，.

（2）由題設(shè)，將代入曲線的極坐標(biāo)方程可得：，

又點(diǎn)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，所以，

由面積公式得：，

當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號成立，

故面積的最大值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）寫出曲線的極坐標(biāo)方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若射線與曲線交于兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，射線與曲線交于兩點(diǎn)，求的面積.

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（1）證明：；

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，P為直線：上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q滿足，且原點(diǎn)O在以為直徑的圓上.記動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為曲線C

（1）求曲線C的方程：

（2）過點(diǎn)的直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D（異于A，B）在C上，直線，分別與x軸交于點(diǎn)M，N，且，求面積的最小值.

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