Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=kex﹣x2（其中k∈R，e是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）若k＜0，試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調性；
（Ⅱ）若k=2，當x∈（0，+∞）時，試比較f（x）與2的大��；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）有兩個極值點x1 ， x2（x1＜x2），求k的取值范圍，并證明0＜f（x1）＜1．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f′（x）=kex﹣2x可知，

當k＜0時，由于x∈（0，+∞），f′（x）=kex﹣2x＜0，

故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調遞減函數(shù)．

（Ⅱ）當k=2時，f（x）=2ex﹣x2，則f′（x）=2ex﹣2x，

令h（x）=2ex﹣2x，h′（x）=2ex﹣2，

由于x∈（0，+∞），故h′（x）=2ex﹣2＞0，

于是h（x）=2ex﹣2x在（0，+∞）為增函數(shù)，

所以h（x）=2ex﹣2x＞h（0）=2＞0，即f′（x）=2ex﹣2x＞0在（0，+∞）恒成立，

從而f（x）=2ex﹣x2在（0，+∞）為增函數(shù)，

故f（x）=2ex﹣x2＞f（0）=2．

（Ⅲ）函數(shù)f（x）有兩個極值點x1，x2，則x1，x2是f′（x）=kex﹣2x=0的兩個根，

即方程 有兩個根，設 ，則 ，

當x＜0時，φ′（x）＞0，函數(shù)φ（x）單調遞增且φ（x）＜0；

當0＜x＜1時，φ′（x）＞0，函數(shù)φ（x）單調遞增且φ（x）＞0；

當x＞1時，φ′（x）＜0，函數(shù)φ（x）單調遞減且φ（x）＞0．

要使 有兩個根，只需 ．

故實數(shù)k的取值范圍是 ．

又由上可知函數(shù)f（x）的兩個極值點x1，x2滿足0＜x1＜1＜x2，

由 ，得 ，

∴ ，

由于x1∈（0，1），故 ，

所以0＜f（x1）＜1．

【解析】（Ⅰ）求導數(shù)f′（x），由于f′（x）＜0，即得f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調遞減；（Ⅱ）根據導函數(shù)即可判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性，由單調性即可比較f（x）與2的大小；（Ⅲ）先求導數(shù)f′（x），由題意知x1、x2是方程f′（x）=0的兩個根，令 ，利用導數(shù)得到函數(shù)φ（x）的單調區(qū)間，繼而得到k的取值范圍，由f′（x1）=0，則得 ，又由f（x1）=﹣（x1﹣1）2+1，x1∈（0，1），即可得到0＜f（x1）＜1．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性(一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減)，還要掌握函數(shù)的極值(極值反映的是函數(shù)在某一點附近的大小情況)的相關知識才是答題的關鍵．