Question

已知邊長分別為a、b、c的三角形ABC面積為S，內(nèi)切圓O半徑為r，連接OA、OB、OC，則三角形OAB、OBC、OAC的面積分別為

1

2

cr、

1

2

ar、

1

2

br，由S=

1

2

cr+

1

2

ar+

1

2

br得r=

2S

a+b+c

，類比得若四面體的體積為V，四個面的面積分別為A、B、C、D，則內(nèi)切球的半徑R=

3V

A+B+C+D

．

Answer 1

分析：由三角形的面積公式可知，是利用等積法推導(dǎo)的，即三個小三角形的面積之和等于大三角形ABC的面積，根據(jù)類比推理可知，將四面體分解為四個小錐體，則四個小錐體的條件之和為四面體的體積，由此單調(diào)內(nèi)切球的半徑．

解答：解：由條件可知，三角形的面積公式是利用的等積法來計算的．
∴根據(jù)類比可以得到，將四面體分解為四個小錐體，每個小錐體的高為內(nèi)切球的半徑，
∴根據(jù)體積相等可得

1

3

(A+B+C+D)R=V，
即內(nèi)切球的半徑R=

3V

A+B+C+D

．
故答案為：

3V

A+B+C+D

．

點評：本題主要考查類比推理的應(yīng)用，要求正確理解類比的關(guān)系，本題的兩個結(jié)論實質(zhì)是利用了面積相等和體積相等來推導(dǎo)的．