Question

已知邊長(zhǎng)分別為a米和b米的矩形球場(chǎng)ABCD，在球場(chǎng)正中的上方懸掛一照明燈P，已知球場(chǎng)上各點(diǎn)照明亮度與燈光照射到這點(diǎn)光線和地面夾角的正弦成正比，與這點(diǎn)到燈的距離的平方成反比，若要使球場(chǎng)最邊緣的點(diǎn)A獲得最好的照明亮度，燈距地面的高度應(yīng)為多少米？

Answer 1

分析：設(shè)∠PAO=θ，照明亮度為Q，則由題意得出照明亮度的函數(shù)關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)Q的最大值即可，從而得出若要使球場(chǎng)最邊緣的點(diǎn)A獲得最好的照明亮度，燈距地面的高度應(yīng)為多少米．

解答：解：設(shè)∠PAO=θ，照明亮度為Q，
則Q=k•

sinθ

AP2

=k•

sinθcos2θ

OA 2

令y=sinθcos²θ=sinθ（1-sin²θ）=-sin³θ+sinθ
設(shè)sinθ=t，則y=-t³+t
y'=-3t²+1=0，解得t=

3

3

即sinθ=

3

3

，則tanθ=

2

2

∴當(dāng)t=

3

3

時(shí)Q取最大值
而OA=

a2+b2

2

此時(shí)OP=OA•tanθ=

a2+b2

2

×

2

2

=

2(a2+b2)

4

答：若要使球場(chǎng)最邊緣的點(diǎn)A獲得最好的照明亮度，燈距地面的高度應(yīng)為

2(a2+b2)

4

米．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了空間想象能力，實(shí)際應(yīng)用能力和建模能力，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值等有關(guān)知識(shí)，屬于難題．