Question

定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①當(dāng)x∈[1，3）時(shí)，f（x）=1-|x-2|；②f（3x）=3f（x）．設(shè)關(guān)于x的函數(shù)F（x）=f（x）-a的零點(diǎn)從小到大依次為x₁，x₂，…，x_n，…．若a=1，則x₁+x₂+x₃=

14

；若a∈（1，3），則x₁+x₂+…+x_2n=

6（3ⁿ-1）

．

Answer 1

分析：當(dāng)a=1時(shí)，根據(jù)已知，可得x₁=2，x₂+x₃=12，代入可得x₁+x₂+x₃的值，當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，不必考慮．利用已知可得：當(dāng)x∈[3，6]時(shí)，由

x

3

∈[1，2]，可得f（x）=3f（

x

3

），f（x）∈[0，3]；同理，當(dāng)x∈（6，9）時(shí)，f（x）∈[0，3]；此時(shí)f（x）∈[0，3]．分別作出y=f（x），y=a，則F（x）=f（x）-a在區(qū)間（3，6）和（6，9）上各有一個(gè)零點(diǎn)，分別為x₁，x₂，且滿足x₁+x₂=2×6，依此類推：x₃+x₄=2×18，…，x_2n-1+x_2n=2×2×3ⁿ．利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答：解：∵①當(dāng)x∈[1，3）時(shí)，f（x）=1-|x-2|∈[0，1]；②f（3x）=3f（x）．
∴當(dāng)

1

3

≤x＜時(shí)，則1≤3x＜3，由f（x）=

1

3

f（3x）可知：f（x）∈[0，

1

3

]．
同理，當(dāng)x∈（0，

1

3

）時(shí)，0≤f（x）＜1，
當(dāng)x∈[3，6]時(shí)，由

x

3

∈[1，2]，可得f（x）=3f（

x

3

），f（x）∈[0，3]；
同理，當(dāng)x∈（6，9）時(shí)，由

x

3

∈（2，3），可得f（x）=3f（

x

3

），f（x）∈[0，3]；
此時(shí)f（x）∈[0，3]．
當(dāng)a=1時(shí)，x₁=2，x₂+x₃=12，
∴x₁+x₂+x₃=14
當(dāng)a∈（1，3）時(shí)．
則F（x）=f（x）-a在區(qū)間（3，6）和（6，9）上各有一個(gè)零點(diǎn)，分別為x₁，x₂，且滿足x₁+x₂=2×6，
依此類推：x₃+x₄=2×18，…，x_2n-1+x_2n=2×2×3ⁿ．
∴當(dāng)a∈（1，3）時(shí)，x₁+x₂+…+x_2n-1+x_2n=4×（3+3²+…+3ⁿ）=4×

3(3n-1)

3-1

=6×（3ⁿ-1）．
故答案為：14，6×（3ⁿ-1）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)、區(qū)間轉(zhuǎn)換、對(duì)稱性、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，屬于難題．