填空題
(1)已知
cos2x
sin(x+
π
4
)
=
4
3
,則sin2x的值為
1
9
1
9

(2)已知定義在區(qū)間[0,
2
]
上的函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=
4
對(duì)稱,當(dāng)x≥
4
時(shí),f(x)=cosx,如果關(guān)于x的方程f(x)=a有四個(gè)不同的解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為
(-1,-
2
2
)
(-1,-
2
2
)


(3)設(shè)向量
a
,
b
c
滿足
a
+
b
+
c
=
0
,(
a
-
b
)⊥
c
,
a
b
,若|
a
|=1
,則|
a
|2+|
b
|2+|
c
|2
的值是
4
4
分析:(1)利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)已知條件可得cos(
π
4
+x)=
2
3
,由sin2x=-cos(
π
2
+2x),利用二倍角的余弦公式求出結(jié)果.
(2)作函數(shù)f(x)的圖象,分析函數(shù)的圖象得到函數(shù)的性質(zhì),分類討論后,結(jié)合方程在a取某一確定值時(shí)所求得的所有解的和記為S,即可得到答案.
(3)由條件求得 |
a
|=1
,|
b
|
=1,再由得
c
2
=[-(
a
+
b
)]
2
=
b
2
+
a
2
+2
a
b
=2,即可求得值.
解答:解:(1)∵
cos2x
sin(x+
π
4
)
=
4
3
=
sin(
π
2
+2x)
sin(x+
π
4
)
=
2sin(
π
4
+x)•cos(
π
4
+x)
sin(x+
π
4
)
=2cos(
π
4
+x),
∴cos(
π
4
+x)=
2
3
,∴sin2x=-cos(
π
2
+2x)=-[2cos2(
π
4
+x)
-1]=-(-
1
9
 )=
1
9
,
故答案為 
1
9

 (2)依題意作出函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,
2
]上的簡(jiǎn)圖,當(dāng)直線y=a與函數(shù)y=f(x)的圖象有交點(diǎn)時(shí),則可得-1≤a≤0.
①當(dāng)-
2
2
<a≤0,f(x)=a有2個(gè)解,②當(dāng)a=-
2
2
時(shí),f(x)=a有3個(gè)解,
③當(dāng)-1<a<-
2
2
時(shí),f(x)=a有4個(gè)交點(diǎn),④a=-1時(shí),f(x)=a有2個(gè)交點(diǎn),
故方程f(x)=a有四個(gè)不同的解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-1,-
2
2
)
,
故答案為 (-1,-
2
2
)


 (3)由題意可得(
a
-
b
)•
c
=(
a
-
b
)•(-
a
-
b
)
=0,∴
b
2
=
a
2
,|
b
|
=|
a
|

再由 |
a
|=1
,可得|
b
|
=1.
再由
a
b
=0
,
c
=-(
a
+
b
) 可得
c
2
=[-(
a
+
b
)]
2
=
b
2
+
a
2
+2
a
b
=2.
|
a
|2+|
b
|2+|
c
|2
=4,
故答案為4.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值,函數(shù)的圖象及性質(zhì),兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義,數(shù)量積公式的應(yīng)用,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年安徽省高三上學(xué)期第二次月考理科數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題

某校教務(wù)處要對(duì)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷進(jìn)行調(diào)研,考察試卷中某道填空題的得分情況.已知該題有兩空,第一空答對(duì)得3分,答錯(cuò)或不答得0分;第二空答對(duì)得2分,答錯(cuò)或不答得0分.第一空答對(duì)與否與第二空答對(duì)與否是相互獨(dú)立的.從該校1468份試卷中隨機(jī)抽取1000份試卷,其中該題的得分組成容量為1000的樣本,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表:

第一空得分情況

 

第二空得分情況

得分

0

3

 

得分

0

2

人數(shù)

 198

 802

 

人數(shù)

 698

 302

 

第一空得分

 

第二空得分

得分

0

3

得分

0

2

人數(shù)

198

802

人數(shù)

698

302

(Ⅰ)求樣本試卷中該題的平均分,并據(jù)此估計(jì)該校高三學(xué)生該題的平均分.

(Ⅱ)該校的一名高三學(xué)生因故未參加考試,如果這名學(xué)生參加考試,以樣本中各種得分情況的頻率(精確到0.1)作為該同學(xué)相應(yīng)的各種得分情況的概率.試求該同學(xué)這道題得分的數(shù)學(xué)期望.

 

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

填空題
(1)已知數(shù)學(xué)公式,則sin2x的值為_(kāi)_______.
(2)已知定義在區(qū)間數(shù)學(xué)公式上的函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線數(shù)學(xué)公式對(duì)稱,當(dāng)數(shù)學(xué)公式時(shí),f(x)=cosx,如果關(guān)于x的方程f(x)=a有四個(gè)不同的解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______.

(3)設(shè)向量數(shù)學(xué)公式滿足數(shù)學(xué)公式,數(shù)學(xué)公式,數(shù)學(xué)公式,若數(shù)學(xué)公式,則數(shù)學(xué)公式的值是________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

填空題
(1)已知
cos2x
sin(x+
π
4
)
=
4
3
,則sin2x的值為_(kāi)_____.
(2)已知定義在區(qū)間[0,
2
]
上的函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=
4
對(duì)稱,當(dāng)x≥
4
時(shí),f(x)=cosx,如果關(guān)于x的方程f(x)=a有四個(gè)不同的解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____.

(3)設(shè)向量
a
,
b
,
c
滿足
a
+
b
+
c
=
0
,(
a
-
b
)⊥
c
,
a
b
,若|
a
|=1
,則|
a
|2+|
b
|2+|
c
|2
的值是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年北京市通州區(qū)潞河中學(xué)高一(上)期末數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

填空題
(1)已知,則sin2x的值為_(kāi)_____.
(2)已知定義在區(qū)間上的函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,當(dāng)時(shí),f(x)=cosx,如果關(guān)于x的方程f(x)=a有四個(gè)不同的解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____

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