【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣(a+2)x+alnx,其中常數(shù)a>0.
(1)當(dāng)a>2時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h(x)在點(diǎn)P(x0 , h(x0))處的切線方程為l:y=g(x),若 >0在D內(nèi)恒成立,則稱(chēng)P為函數(shù)y=h(x)的“類(lèi)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”.當(dāng)a=4時(shí),試問(wèn)y=f(x)是否存在“類(lèi)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”,若存在,請(qǐng)至少求出一個(gè)“類(lèi)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),

,

∵a>2,∴

令f′(x)>0,即

∵x>0,∴0<x<1或

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),


(2)解:法一:當(dāng)a=4時(shí),

所以在點(diǎn)P處的切線方程為

若函數(shù) 存在“類(lèi)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”P(pán)(x0,f(x0)),

則等價(jià)于當(dāng)0<x<x0時(shí),f(x)<g(x),

當(dāng)x>x0時(shí),f(x)>g(x)恒成立.

①當(dāng)0<x<x0時(shí),f(x)<g(x)恒成立,

等價(jià)于 恒成立,

即當(dāng)0<x<x0時(shí), 恒成立,

,則φ(x0)=0,

要使φ(x0)<0在0<x<x0恒成立,只要φ(x)在(0,x0)單調(diào)遞增即可.

又∵ ,

,即

②當(dāng)x>x0時(shí),f(x)>g(x)恒成立時(shí),

所以y=f(x)存在“類(lèi)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”,其中一個(gè)“類(lèi)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為

法二:

猜想y=f(x)存在“類(lèi)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”,其中一個(gè)“類(lèi)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為 .下面加以證明:

當(dāng) 時(shí),

①當(dāng) 時(shí),f(x)<g(x)恒成立,

等價(jià)于 恒成立,

,∴函數(shù)φ(x)在 上單調(diào)遞增,

從而當(dāng) 時(shí), 恒成立,

即當(dāng) 時(shí),f(x)<g(x)恒成立.

②同理當(dāng) 時(shí),f(x)>g(x)恒成立.

綜上知y=f(x)存在“類(lèi)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”,其中一個(gè)“類(lèi)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為


【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),結(jié)合a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)法一:a=4時(shí),求出f(x)的導(dǎo)數(shù),得到切線方程根據(jù)新定義問(wèn)題等價(jià)于當(dāng)0<x<x0時(shí),f(x)<g(x),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出即可;法二:猜想y=f(x)存在“類(lèi)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”,其中一個(gè)“類(lèi)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為 ,然后加以證明即可.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)分別求出m,n的值;

(2)分別求出甲、乙兩組技工在單位時(shí)間內(nèi)加工的合格零件的方差,并由此分析兩組技工的加工水平;

(3)質(zhì)檢部門(mén)從該車(chē)間甲、乙兩組技工中各隨機(jī)抽取一名技工,對(duì)其加工的零件進(jìn)行檢測(cè),若兩人加工的合格零件個(gè)數(shù)之和大于18,則稱(chēng)該車(chē)間“質(zhì)量合格”,求該車(chē)間“質(zhì)量合格”的概率.

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