Question

已知函數(shù)f(x)=a-

1

2x+1

．
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）是否存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)？若存在求出a的值，不存在請說明理由；
（3）在（2）的條件下，若

1

1 2 -f(x)

＜4x+m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)導函數(shù)值大于0恒成立，可得函數(shù)是定義在R上的增函數(shù)
（2）根據(jù)奇函數(shù)的定義，我們令f（x）+f（-x）=0，由此構造關于a的方程，解方程可得a的值
（3）根據(jù)（2）中條件可得函數(shù)的解析式，進而可將不等式

1

1 2 -f(x)

＜4x+m恒成立，轉化為m＞-4^x+2^x+1=-(2x-

1

2

)2+

5

4

恒成立，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)及恒成立的實際意義，可得實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）函數(shù)f(x)=a-

1

2x+1

是定義在R上增函數(shù)，理由如下：
∵f(x)=a-

1

2x+1

∴f′(x)=

2x+1+2x•ln2

(2x+1)

=

2x(1+ln2)+1

(2x+1)

＞0恒成立
∴函數(shù)f(x)=a-

1

2x+1

是定義在R上增函數(shù)．
（2）假設存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)
則f（0）=0
即a-

1

2

=0
解得a=

1

2

此時f(x)=

1

2

-

1

2x+1

，f(-x)=

1

2

-

1

2-x+1

f（x）+f（-x）=

1

2

-

1

2x+1

+

1

2

-

1

2-x+1

=1-1=0恒成立
故存在a=

1

2

使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)
（3）由（2）得f(x)=

1

2

-

1

2x+1

由

1

1 2 -f(x)

＜4x+m恒成立，得
2^x+1＜4^x+m，即m＞-4^x+2^x+1=-（2^x）²+2^x+1=-(2x-

1

2

)2+

5

4

恒成立
故m＞

5

4

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，函數(shù)恒成立問題，其中熟練掌握函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義及證明方法是解答的關鍵．