Question

如圖所示，直線l₁和l₂相交于點M，l₁⊥l₂，點N∈l₁，以A、B為端點的曲線段C上的任一點到l₂的距離與到點N的距離相等．若△AMN為銳角三角形，｜AM｜＝，｜AN｜＝3，且｜BN｜＝6，建立適當?shù)淖鴺讼�，求曲線C的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解析：方法一　如圖所示，分別以l1、l2為x、y軸，M為坐標原點，建立直角坐標系，作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分別為E、D、F． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(a，0)，則x1＝｜AN｜＝3，x2＝｜BF｜＝｜BN｜＝6，y1＝｜DM｜＝2，a＝x1＋＝4．設(shè)點P為曲線段C上任一點，則P屬于集合｛(x，y)｜(x－a)2＋y2＝x2，3≤x≤6，y＞0｝，故曲線C的方程為y2＝8(x－2)(3≤x≤6，y＞0)． 　　方法二　如圖所示，以l1為x軸，MN的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，根據(jù)題意，曲線C是以N為焦點，以l2為準線的拋物線的一段，其中A、B分別為C的端點．設(shè)曲線段C的方程為 　　y2＝2px(p＞0)(xA≤x≤xB，y＞0)， 　　其中xA、xB分別為A、B的橫坐標，P＝｜MN｜，所以M(－，0)，N(，0)． 　　由｜AM｜＝，｜AN｜＝3，得 解得或 　　因為△AMN是銳角三角形，所以＞xA，所以p＝4，xA＝1，由點B在曲線段C上，得xB＝｜BN｜－＝4． 　　綜上，得曲線段C的方程為y2＝8x(1≤x≤4，y＞0)． 　　點評：本題考查根據(jù)所給條件選擇適當?shù)淖鴺讼登笄�線方程的基本思想．方法一充分運用了平面圖形的幾何性質(zhì)，運用直接法求軌跡方程；方法二則體現(xiàn)了對拋物線概念的熟練掌握和應用．