Question

【題目】已知函數(shù)圖象在點(diǎn)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3．

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）若，且對(duì)任意恒成立，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）a=1；（2）3．

【解析】試題分析：（1）先求出的導(dǎo)數(shù)f′（x）=a+lnx+1，根據(jù)已知條件f′（e）=3，再求出a+lne+1=3，可得a=1。

（2）根據(jù)已知條件建立一個(gè)不等式，再根據(jù)k＜對(duì)任意x＞1恒成立這個(gè)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=，本題的目的就轉(zhuǎn)化為求解g（x）的最小值，首先對(duì)g（x）求導(dǎo)，g′（x）=，無(wú)法直接判斷g′（x）的符號(hào)，再構(gòu)造一個(gè)函數(shù)h（x）=x﹣lnx﹣2，x＞1，對(duì)其再進(jìn)行求導(dǎo)，h′（x）=1﹣=＞0，顯然h（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，經(jīng)計(jì)算確定h（x）在（3，4）內(nèi)存在實(shí)根x0，所以當(dāng)x∈（1，x0）時(shí)，h（x）＜0，即g′（x）＜0；當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，h（x）＞0，即g′（x）＞0，所以g（x）min=g（x0）==∈（3，4），可得解.

試題解析：（1）由已知得f′（x）=a+lnx+1，故f′（e）=3，∴a+lne+1=3，

∴a=1

（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx

等價(jià)于k＜對(duì)任意x＞1恒成立

令g（x）=，則g′（x）=

令h（x）=x﹣lnx﹣2，x＞1，

則h′（x）=1﹣=＞0

∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)增加，

∵h(yuǎn)（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，

∴h（x）在（1，+∞）上在唯一實(shí)數(shù)根x0，滿(mǎn)足x0∈（3，4），且h（x0）=0

當(dāng)x∈（1，x0）時(shí)，h（x）＜0，∴g′（x）＜0；當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，

∴g（x）=在（1，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增

∴g（x）min=g（x0）==∈（3，4），

∴k＜g（x）min=x0∈（3，4），

∴整數(shù)k的最大值為3．

點(diǎn)晴:本題主要考查函數(shù)在某點(diǎn)的切線的斜率，及不等式恒成立求參數(shù)問(wèn)題.要求在某點(diǎn)的切線，求導(dǎo)得斜率，用點(diǎn)斜式表示切線方程即可;要證明不等式恒成立問(wèn)題可變量分離轉(zhuǎn)化為構(gòu)造新函數(shù)求其值最值即可.這類(lèi)問(wèn)題的通解方法就是：劃歸與轉(zhuǎn)化之后，就可以假設(shè)相對(duì)應(yīng)的函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，圖像與性質(zhì)，進(jìn)而求解得結(jié)果.