【題目】已知橢圓的左、右焦點為.過作直線交橢圓于,過作直線交橢圓于,且垂直于點.
(Ⅰ)證明:點在橢圓內(nèi)部;
(Ⅱ)求四邊形面積的最小值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】分析:
(Ⅰ)由可求得,從而橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,再由已知求出點軌跡方程為,而此圓在題設(shè)橢圓內(nèi)部,因此可證P點在橢圓內(nèi)部;
(Ⅱ)分類討論,當(dāng)斜率不存在時,可求出四邊形ABCD的面積,同理當(dāng)斜率不0時,
與剛才一樣,當(dāng)斜率存在且不為0時,設(shè)方程為,這樣就有方程為,設(shè),利用圓錐曲線中的弦長公式求得弦長,同理可得弦長,于是可得面積為的函數(shù),利用函數(shù)的知識可求得的最小值,從而得出結(jié)論.
詳解:
(Ⅰ)由題意得,故,所以橢圓方程為.
由于分別為過兩焦點, 且垂直相交于點,則的軌跡為以為直徑的圓,
即的軌跡方程為,
又因為,所以點在橢圓內(nèi)部.
(Ⅱ)①當(dāng)斜率不存在時,直線的方程為, 此時直線的方程為,
此時四邊形的面積為.
同時當(dāng)斜率為0時,此時的斜率不存在,易得.
②當(dāng)斜率存在且不為0時,設(shè)直線方程為,直線方程為,
設(shè),聯(lián)立,消去整理得,
所以,
所以.
同理得
則
令,則
即當(dāng),即時,
綜合上式①②可得,當(dāng)時, .
求最值的其它方法: ,令,得,
因為,當(dāng)時, ,且是以為自變量的增函數(shù),所以.
綜上可知, . 即四邊形面積的最小值為.
方法二:①當(dāng)斜率為0,此時直線軸,此時四邊形的面積為.
同時當(dāng)斜率為0時,此時軸,易得.
②當(dāng)斜率存在且不為0時,設(shè)直線方程為,直線方程為,
設(shè),聯(lián)立,消去整理得,
所以,
所以.
同理得
則
下同解法一.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)在區(qū)間上的值域;
(2)設(shè)函數(shù)的定義域為I,若,且,則稱為函數(shù)的“壹點”,已知在區(qū)間上有4個不同的“壹點”,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1C1C是邊長為4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求證:AA1⊥平面ABC;
(Ⅱ)求證二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著網(wǎng)絡(luò)的飛速發(fā)展,人們的生活發(fā)生了很大變化,其中無現(xiàn)金支付是一個顯著特征,某評估機(jī)構(gòu)對無現(xiàn)金支付的人群進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查,并從參與調(diào)查的數(shù)萬名受訪者中隨機(jī)選取了300人,把這300人分為三類,即使用支付寶用戶、使用微信用戶、使用銀行卡用戶,各類用戶的人數(shù)如圖所示,同時把這300人按年齡分為青年人組與中年人組,制成如圖所示的列聯(lián)表:
支付寶用戶 | 非支付寶用戶 | 合計 | |
中老年 | 90 | ||
青年 | 120 | ||
合計 | 300 |
(1) 完成列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認(rèn)為使用支付寶用戶與年齡有關(guān)系?
(2)把頻率作為概率,從所有無現(xiàn)金支付用戶中(人數(shù)很多)隨機(jī)抽取3人,用表示所選3人中使用支付寶用戶的人數(shù),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
附:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 如圖,要設(shè)計一張矩形廣告,該廣告含有大小相等的左右兩個矩形欄目(即圖中陰影部分),這兩欄的面積之和為18000cm2,四周空白的寬度為10cm,兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm,怎樣確定廣告的高與寬的尺寸(單位:cm),能使矩形廣告面積最?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),。
Ⅰ.求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;
Ⅱ.當(dāng)時,方程恰有兩個不同的實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍;
Ⅲ.將函數(shù)的圖象向右平移個單位后所得函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱,求的最小值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某租賃公司擁有汽車100輛.當(dāng)每輛車的月租金為3000元時,可全部租出.當(dāng)每輛車的月租金每增加元時,未租出的車將會增加一輛.租出的車每輛每月需要維護(hù)費元,未租出的車每輛每月需要維護(hù)費元.
(1)當(dāng)每輛車的月租金定為元時,能租出多少輛車?
(2)當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時,租賃公司的月收益最大?最大月收益是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】世界那么大,我想去看看,處在具有時尚文化代表的大學(xué)生們旅游動機(jī)強(qiáng)烈,旅游可支配收入日益增多,可見大學(xué)生旅游是一個巨大的市場.為了解大學(xué)生每年旅游消費支出(單位:百元)的情況,相關(guān)部門隨機(jī)抽取了某大學(xué)的名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,并把所得數(shù)據(jù)列成如下所示的頻數(shù)分布表:
組別 | |||||
頻數(shù) |
(Ⅰ)求所得樣本的中位數(shù)(精確到百元);
(Ⅱ)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),可近似地認(rèn)為學(xué)生的旅游費用支出服從正態(tài)分布,若該所大學(xué)共有學(xué)生人,試估計有多少位同學(xué)旅游費用支出在元以上;
(Ⅲ)已知樣本數(shù)據(jù)中旅游費用支出在范圍內(nèi)的名學(xué)生中有名女生, 名男生,現(xiàn)想選其中名學(xué)生回訪,記選出的男生人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
附:若,則,
, .
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