【題目】已知橢圓經(jīng)過點,離心率為,點為橢圓的右頂點,直線與橢圓相交于不同于點的兩個點.

(Ⅰ)求橢圓的標準方程;

(Ⅱ)當時,求面積的最大值;

(Ⅲ)若直線的斜率為2,求證:的外接圓恒過一個異于點的定點.

【答案】I;(II;(III.

【解析】

試題(I)根據(jù)已知橢圓上的一個點和離心率,列方程組,可求得的值.(II)當直線斜率不存在時,設出直線方程,代入橢圓方程,求出兩點坐標,代入,可求得直線方程,進而求得三角形的面積.當直線斜率存在時,設出直線方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程 ,寫出韋達定理,利用弦長公式和點到直線的距離公式計算得面積的表達式,并利用二次函數(shù)求最值的方法求得最大值.(III)設出直線方程和外接圓的方程,分別聯(lián)立直線的方程與圓、橢圓的方程,化簡后的兩個方程同解,通過對比系數(shù)可求得圓方程的表達式并求出定點坐標.

試題解析:

解:(Ⅰ)由題意知:且,

可得:,

橢圓的標準方程為.

(Ⅱ)當直線的斜率不存在時,設,與聯(lián)立得:

.

由于,得,解得(舍去).

此時,的面積為.

當直線的斜率存在時,設,與聯(lián)立得:

.

,得;

,.

由于,

得:.

代入式得:,

(此時直線過點,舍去).

,

到直線的距離為:.

的面積為,將代入得:

的面積為.

面積的最大值為.

(Ⅲ)設直線的方程為,聯(lián)立方程得:

①.

的外接圓方程為:聯(lián)立直線的方程的:

②.

方程①②為同解方程,所以:.

又由于外接圓過點,則.

從而可得到關于的三元一次方程組:

,解得:.

代入圓的方程為:.

整理得:

所以,解得(舍去).

的外接圓恒過一個異于點的定點.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】

已知為常數(shù),),設是首項為4,公差為2的等差數(shù)列.

1)求證:數(shù)列{}是等比數(shù)列;

2)若,記數(shù)列的前n項和為,當時,求;

3)若,問是否存在實數(shù),使得中每一項恒小于它后面的項?

若存在,求出實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知在三棱錐中, 是等腰直角三角形,且

平面

(Ⅰ)求證:平面平面

(Ⅱ)若的中點,求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列為公差不為0的等差數(shù)列,首項,,成等比數(shù)列.

1)求數(shù)列的通項公式;

2)設數(shù)列的前n項和為,求的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】袋內(nèi)裝的紅白黑球分別有,,個,從中任取兩個球,則互斥而不對立的事件是(

A.至少一個白球;都是白球B.至少一個白球;至少一個黑球

C.至少一個白球;一個白球一個黑球D.至少一個白球;紅球黑球各一個

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某種汽車購買時費用為144萬元,每年應交付保險費、養(yǎng)路費及汽油費共0.9萬元,汽車的維修費為:第一年0.2萬元,第二年0.4萬元,第三年0.6萬元,……,依等差數(shù)列逐年遞增.

)設使用n年該車的總費用(包括購車費用)為f(n),試寫出f(n)的表達式;

)求這種汽車使用多少年報廢最合算(即該車使用多少年平均費用最少).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的離心率為,右焦點為。斜率為1的直線與橢圓交于兩點,以為底邊作等腰三角形,頂點為。

1)求橢圓的方程;

2)求的面積。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的離心率為,是橢圓的左、右焦點,過作直線交橢圓于兩點,若的周長為8.

(1)求橢圓方程;

(2)若直線的斜率不為0,且它的中垂線與軸交于點,求點的縱坐標的范圍;

(3)是否在軸上存在點,使得軸平分?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某調(diào)查機構(gòu)對全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進行調(diào)查統(tǒng)計,得到整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)者崗位分布條形圖,則下列結(jié)論中不一定正確的是( )

A. 互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中后占一半以上

B. 互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的

C. 互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運營崗位的人數(shù)后比前多

D. 互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運營崗位的人數(shù)后比后多

查看答案和解析>>

同步練習冊答案