Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，a2=2，且an+1=2an+3an﹣1（n≥2，n∈N+）．
（1）設(shè)bn=an+1+an（n∈N+），求證{bn}是等比數(shù)列；
（2）（i）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（ii）求證：對(duì)于任意n∈N+都有 + +…+ + ＜ 成立．

Answer 1

【答案】
（1）證明：已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，a2=2，且an+1=2an+3an﹣1（n≥2，n∈N+）．

則：an+1+an=3（an+an﹣1）

即： ，

所以： ，

數(shù)列{bn}是等比數(shù)列．

（2）解：（i）由于數(shù)列{bn}是等比數(shù)列．

則： ，

整理得：

所以：

則： 是以（ ）為首項(xiàng)，﹣1為公比的等比數(shù)列．

所以：

求得：

（ii）由于： ，

所以： ，

則：（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， ，

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， ，

所以： = …+ +

，

所以：n∈k時(shí)，對(duì)任意的k都有 恒成立

【解析】（1）利用已知條件對(duì)已知的數(shù)列關(guān)系式進(jìn)行恒等變形，進(jìn)一步的出數(shù)列是等比數(shù)列．（2）（i）根據(jù)（1）的結(jié)論進(jìn)一步利用恒等變換，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．（ii）首先分奇數(shù)和偶數(shù)分別寫出通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用放縮法進(jìn)行證明．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等比關(guān)系的確定和數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握等比數(shù)列可以通過(guò)定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷；數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系才能正確解答此題．