Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=2， ．M，N分別為BC和CC1的中點，P為側(cè)棱BB1上的動點．

（1）求證：平面APM⊥平面BB1C1C；
（2）若P為線段BB1的中點，求證：A1N∥平面APM；
（3）試判斷直線BC1與平面APM是否能夠垂直．若能垂直，求PB的值；若不能垂直，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由已知，M為BC中點，且AB=AC，所以AM⊥BC．

又因為BB1∥AA1，且AA1⊥底面ABC，所以BB1⊥底面ABC．

因為AM底面ABC，所以BB1⊥AM，

又BB1∩BC=B，

所以AM⊥平面BB1C1C．

又因為AM平面APM，

所以平面APM⊥平面BB1C1C．

（2）解：取C1B1中點D，連結(jié)A1D，DN，DM，B1C．

由于D，M分別為C1B1，CB的中點，所以DM∥A1A，且DM=A1A．

則四邊形A1AMD為平行四邊形，所以A1D∥AM．

又A1D平面APM，AM平面APM，所以A1D∥平面APM．

由于D，N分別為C1B1，C1C的中點，所以DN∥B1C．

又P，M分別為B1B，CB的中點，所以MP∥B1C．

則DN∥MP．又DN平面APM，MP平面APM，所以DN∥平面APM．

由于A1D∩DN=D，所以平面A1DN∥平面APM．

由于A1N平面A1DN，所以A1N∥平面APM．

（3）解：假設(shè)BC1與平面APM垂直，

由PM平面APM，則BC1⊥PM．

設(shè)PB=x， ．當BC1⊥PM時，∠BPM=∠B1C1B，

所以 ∽Rt△∠B1C1B，所以 ．

由已知 ，

所以 ，得 ．

由于 ，

因此直線BC1與平面APM不能垂直．

【解析】（1）由已知推導出AM⊥BC，BB1⊥底面ABC，BB1⊥AM，從而AM⊥平面BB1C1C，由此能證明平面APM⊥平面BB1C1C．（2）取C1B1中點D，連結(jié)A1D，DN，DM，B1C，則四邊形A1AMD為平行四邊形，從而A1D∥AM，進而A1D∥平面APM；進一步推導出DN∥B1C，MP∥B1C，則DN∥MP，從而DN∥平面APM，進而平面A1DN∥平面APM，由此能證明A1N∥平面APM．（3）假設(shè)BC1與平面APM垂直，則BC1⊥PM．設(shè)PB=x， ．推導出 ，從而得到直線BC1與平面APM不能垂直．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直即可以解答此題．