Question

（2010•武漢模擬）已知拋物線C：y=

1

2

x2與直線l：y=kx-1沒(méi)有公共點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作拋物線C的兩條切線，A，B為切點(diǎn)．
（1）證明：直線AB恒過(guò)定點(diǎn)Q；
（2）若點(diǎn)P與（1）中的定點(diǎn)Q的連線交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，證明：

|PM|

|PN|

=

|QM|

|QN|

．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求以A、B為切點(diǎn)的切線方程，再設(shè)出P（x₀，kx₀-1），代入兩條切線方程，得kx₀-1=x₀x₁-y₁．kx₀-1=x₀x₂-y₂．故直線AB的方程為kx₀-1=x₀x-y，過(guò)定點(diǎn)（k，1）
（2）先寫(xiě)出直線PQ的方程y=

kx0-2

x0-k

（x-k）+1，代入拋物線方程y=

1

2

x2，得關(guān)于x的一元二次方程，為利用韋達(dá)定理準(zhǔn)備條件，再設(shè)M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），要證

|PM|

|PN|

=

|QM|

|QN|

，只需證明

x3-x0

x4-x0

=

k-x3

x4-k

，即2x₃x₄-（k+x₀）（x₃+x₄）+2kx₀=0，最后利用韋達(dá)定理將x₃+x₄和x₃x₄代入即可得證

解答：解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），則y₁=

1

2

x12．
由y=

1

2

x2得y′=x，所以y′|x=x1=x1．
于是拋物線C在A點(diǎn)處的切線方程為y-y₁=x₁（x-x₁），即y=x₁x-y₁．
設(shè)P（x₀，kx₀-1），則有kx₀-1=x₀x₁-y₁．設(shè)B（x₂，y₂），同理有kx₀-1=x₀x₂-y₂．
所以AB的方程為kx₀-1=x₀x-y，即x₀（x-k）-（y-1）=0，所以直線AB恒過(guò)定點(diǎn)Q（k，1）．
（2）PQ的方程為y=

kx0-2

x0-k

（x-k）+1，與拋物線方程y=

1

2

x2聯(lián)立，消去y，得
x²-

2kx0-4

x0-k

x+

2kx0-4

x0-k

=0
設(shè)M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），則x₃+x₄=

2kx0-4

x0-k

，x₃x₄=

(2k2-2)x0-2k

x0-k

①
要證

|PM|

|PN|

=

|QM|

|QN|

，只需證明

x3-x0

x4-x0

=

k-x3

x4-k

，即2x₃x₄-（k+x₀）（x₃+x₄）+2kx₀=0②
由①知，②式
左邊=

2(2k2-2)x0-4k

x0-k

-（x+x₀）

2kx0-4

x0-k

+2kx₀
=

2(2k2-2)x0-4k-(k+x0)(2kx0-4)+2kx0(x0-k)

x0-k

=0．
故②式成立，從而結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了拋物線的切線方程，直線與拋物線相交的性質(zhì)，解題時(shí)要特別注意韋達(dá)定理在解題時(shí)的重要運(yùn)用，還要有較強(qiáng)的運(yùn)算推理能力