Question

（2012•綿陽(yáng)三模）在△ABC中，頂點(diǎn)A，B，C所對(duì)三邊分別是a，b，c．已知B（-1，0），C（1，0），且b，a，c成等差數(shù)列．
（I）求頂點(diǎn)A的軌跡方程；
（II）設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)B且與點(diǎn)A的軌跡相交于不同的兩點(diǎn)M、N如果滿足|

CM

+

CN

|=|

CM

-

CN

|，求l的方程．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)B（-1，0），C（1，0），且b，a，c成等差數(shù)列，可得b+c=4，即|AC|+|AB|=4，由橢圓定義知，頂點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓（除去左右頂點(diǎn)），從而可得橢圓的方程；
（II）由|

CM

+

CN

|=|

CM

-

CN

|，可得

CM

•

CN

=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），可得x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂=0，分類(lèi)討論：①直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=k（x+1）代入橢圓方程，整理利用韋達(dá)定理，可求k的值，從而可得直線的方程；②當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=-1，M（-1，

3

2

），N（-1，-

3

2

），

CM

•

CN

≠0，從而可得結(jié)論．

解答：解：（I）由題知

a=2 b+c=2a

得b+c=4，即|AC|+|AB|=4（定值）．
由橢圓定義知，頂點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓（除去左右頂點(diǎn)），且其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，半焦距為1，
于是短半軸長(zhǎng)為

3

．
∴頂點(diǎn)A的軌跡方程為

x2

4

+

y2

3

=1(y≠0)．    …（4分）
（II）∵|

CM

+

CN

|=|

CM

-

CN

|，
∴|

CM

+

CN

|²=|

CM

-

CN

|²，展開(kāi)得

CM

•

CN

=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），于是

CM

=（x₁-1，y₁），

CN

=（x₂-1，y₂），
∴（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=0，即（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，
整理得  x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂=0． （*）…（6分）
①直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=k（x+1）代入橢圓方程，消去y整理得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
則x₁+x₂=

-8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

．
由（*）式得x₁x₂-（x₁+x₂）+1+k²（x₁+1）（x₂+1）=0，
即（1+k²）x₁x₂+（k²-1）（x₁+x₂）+k²+1=0，
∴（1+k²）×

4k2-12

3+4k2

+（k²-1）×

-8k2

3+4k2

+k²+1=0，
整理得

7k2-9

3+4k2

=0，解得k=±

3 7

7

．
∴直線l的方程為y=

3 7

7

x+

3 7

7

，或y=-

3 7

7

x-

3 7

7

．…（10分）
②當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=-1，M（-1，

3

2

），N（-1，-

3

2

），
∴

CM

•

CN

=（-2，

3

2

）•（-2，-

3

2

）=4-3=1≠0，∴不滿足題意．
綜上所述，直線l的方程為y=

3 7

7

x+

3 7

7

，或y=-

3 7

7

x-

3 7

7

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題