Question

已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在區(qū)間上有極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)，時(shí)，求證：.

 

Answer 1

【答案】

(1) 

(2) 

(3)根據(jù)數(shù)列的求和來(lái)放縮法得到不等式的證明關(guān)鍵是對(duì)于的運(yùn)用。

【解析】

試題分析：解：（1），   

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

函數(shù)在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)；在區(qū)間為減函數(shù)   3分

當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，而函數(shù)在區(qū)間有極值.

，解得.        5分

（2）由（1）得的極大值為，令，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，又因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051310014700836569/SYS201305131002197906318841_DA.files/image020.png">有實(shí)數(shù)解，那么，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是：.            10分

（另解：，，

令，所以，當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值為

當(dāng)方程有實(shí)數(shù)解時(shí)，.）

（3）函數(shù)在區(qū)間為減函數(shù)，而，

，即                     

   12分

即，

而，結(jié)論成立.    16分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定函數(shù)的單調(diào)性，是解決該試題的關(guān)鍵，同時(shí)能結(jié)合函數(shù)與方程的思想求解方程的根，屬于中檔題。