Question

已知函數(shù)（且），.
（1）若在定義域上有極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)，總，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（3）對(duì)，且，證明： .

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見解析.

解析試題分析：（1）這是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的常規(guī)題，值得注意的是在定義域上有極值，等價(jià)于在定義域內(nèi)有兩個(gè)不等的根，而不是在定義域內(nèi)有解；（2）分析題意，將問題成功地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為是解決問題的關(guān)鍵，接下來就是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求兩個(gè)函數(shù)的最值，并進(jìn)行比較得出參數(shù)的取值范圍；（3）這是賦有挑戰(zhàn)性的一個(gè)，詳見解析，但是我們要從中吸取一些對(duì)今后解題有幫助的東西，并注意一些知識(shí)的積累，如對(duì)，總有成立，它是如何證明的，從中知道是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)證明的，它又有什么作用，可以運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出一些新的不等式，這些對(duì)今后解題是很有幫助的.
試題解析：（1）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/08/9c/0859ccea1cc51bdd693f757d03c1110f.png" style="vertical-align:middle;" />，要在定義域內(nèi)有極值，則
有兩不等正根，即有兩不等正根                                                    4分
（2），要對(duì)，總，使得
則只需，由得函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以函數(shù)在處有最大值；           6分
，又在上遞減，故
故有                                9分
（3）當(dāng)時(shí)，，恒成立，故在定義域上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，即             12分
所以對(duì)，總有，故有
  14分
考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；2.參數(shù)范圍；3.不等式證明.