Question

在底面邊長為2，高為1的正四梭柱ABCD=A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為BC，C₁D₁的中點(diǎn)．

（1）求異面直線A₁E，CF所成的角；
（2）求平面A₁EF與平面ADD₁A₁所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

（1）（2）

試題分析：（1）以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出異面直線A₁E，CF的方向向量，代入向量夾角公式，可得求異面直線A₁E，CF所成的角；
（2）求平面A₁EF與平面ADD₁A₁的法向量，代入向量夾角公式，可得二面角的余弦值．
以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系
（1）A₁（2，0，1），E（1，2，0），C（0，2，0），F(xiàn)（0，1，1），
設(shè)異面直線A₁E，CF所成的角為θ，則
，
即3=••cosθ
解得cosθ=
解，
所以，所求異面直線的夾角為
（2），設(shè)平面A₁EF的法向量為，則
，
令x=1，則平面A₁EF的一個(gè)法向量為，
平面ADD₁A₁的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面A₁EF與平面ADD₁A₁所成銳二面角為α，則
由，
即2=•1•cosα
解得：
故平面A₁EF與平面ADD₁A₁所成銳二面角的余弦值為
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，用空間向量求直線間的夾角，建立空間坐標(biāo)系，將空間異面直線夾角問題及二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答的關(guān)鍵．