Question

已知拋物線C₁：y²=4mx（m＞0）的焦點(diǎn)為F₂，其準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)F₁，以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，離心率為

1

2

的橢圓C₂與拋物線C₁在x軸上方的一個交點(diǎn)為P．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其右準(zhǔn)線的方程；
（2）用m表示P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使得△PF₁F₂的邊長是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實(shí)數(shù)m；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解（1）∵c₁：y²=4mx的右焦點(diǎn)F₂（m，0）∴橢圓的半焦距c=m，
又e=

1

2

，∴橢圓的長半軸的長a=2m，短半軸的長b=

3

m．
橢圓方程為

x2

4m2

+

y2

3m2

=1當(dāng)m=1時(shí)，故橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1，右準(zhǔn)線方程為：x=4
（2）由

y2=4mx x2 4m2 + y2 3m2 =1

，解得：P(

2

3

m，

2 6

3

m)
（3）假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)m，由（Ⅱ）知P(

2

3

m，

2 6

3

m)
∴|PF2|=

2

3

m+m=

5

3

m，|PF1|=4m-|PF2|=

7

3

m，又|F1F2|=2m=

6

3

m．
即△PF₁F₂的邊長分別是

5

3

m、

6

3

m、

7

3

m．
∵

6m

3

-

5m

3

=

7m

3

-

6m

3

=1∴m=3，
故存在實(shí)數(shù)m使△PF₁F₂的邊長是連續(xù)的自然數(shù)．