Question

【題目】如圖，已知三棱錐P－ABC中，PA平面ABC，ABAC，且PA＝l，AB＝AC＝2，點D滿足，.

（1）當(dāng)，求二面角P－BD－C的余弦值；

（2）若直線PC與平面PBD所成角的正弦值為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題意，以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系A—xyz，求出各點的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面的法向量，然后利用空間向量求解二面角的大小；

（2）利用線面角的向量求法可得，解出即可．

解：（1）∵PA⊥平面ABC，

∴AP⊥AB，AP⊥AC，

又AB⊥AC，

∴以為正交基底，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A—xyz，

∵PA＝1，AB＝AC＝2，

∴A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，1)

∴，即D，

∴，，

設(shè)平面PBD的法向量為，

則，取，

當(dāng)時，，又可取為平面BDC的一個法向量，

∴，

由圖可知二面角P—BD—C的余弦值為；

（2），平面PBD的一個法向量為，

設(shè)直線PC與平面PBD所成角為，

則，

結(jié)合題設(shè)，得，即，

解得或，

∵，

∴．