【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若方程沒有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(I)在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;
(II)
【解析】
(I)先對函數(shù)求導(dǎo),結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求解函數(shù)的單調(diào)性;
(II)由沒有實(shí)數(shù)解,結(jié)合a的范圍,利用函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的性質(zhì)可判斷函數(shù)的零點(diǎn)存在情況,即可求解.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,
所以,
令,得,
又因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增,
所以在上,,單調(diào)遞減;
在上,,單調(diào)遞增.
(II)方程沒有實(shí)數(shù)解,
即方程沒有實(shí)數(shù)解,
設(shè)函數(shù),
,
(i)當(dāng)時(shí),,函數(shù)沒有零點(diǎn);
(ii)當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,,且,函數(shù)有零點(diǎn);
(iii)當(dāng)時(shí),令,則,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,
令,得,
即函數(shù)沒有零點(diǎn),
綜上所述,若函數(shù)沒有零點(diǎn),
即方程沒有實(shí)數(shù)解,
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一座小島距離海岸線上最近的點(diǎn)P的距離是3 km,從點(diǎn)P沿海岸正東12 km處有一個(gè)漁村.
(1)假設(shè)一個(gè)人駕駛的小船的平均速度為,步行的速度是.y(單位:h)表示他從小島到漁村的時(shí)間,x(單位:km)表示此人將船停在海岸處A與P點(diǎn)的距離.請將y表示為x的函數(shù),并寫出定義域;
(2)在(1)的條件下,是否有一個(gè)停船的位置使得從小島到漁村花費(fèi)的時(shí)間最少?說明理由.()
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法中,錯(cuò)誤的是( )
A.一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面相交,則必與另一個(gè)平面相交
B.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)不同平面平行
C.若直線l與平面平行,則過平面內(nèi)一點(diǎn)且與直線l平行的直線在平面內(nèi)
D.若直線l不平行于平面,則在平面內(nèi)不存在與l平行的直線
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,命題對任意,不等式恒成立,命題存在,使不等式成立.
(1)若為真命題,求的取值范圍;
(2)若為假,為真,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知.
(1)當(dāng)時(shí),的值域是,試求實(shí)數(shù)的值;
(2)設(shè)關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根為;試問:是否存在實(shí)數(shù),使得不等式對任意及恒成立?若存在,求實(shí)數(shù)的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了調(diào)查某社區(qū)居民每天參加健身的時(shí)間,某機(jī)構(gòu)在該社區(qū)隨機(jī)采訪男性、女性各50名,其中每人每天的健身時(shí)間不少于1小時(shí)稱為“健身族”,否則稱其為"非健身族”,調(diào)查結(jié)果如下:
健身族 | 非健身族 | 合計(jì) | |
男性 | 40 | 10 | 50 |
女性 | 30 | 20 | 50 |
合計(jì) | 70 | 30 | 100 |
(1)若居民每人每天的平均健身時(shí)間不低于70分鐘,則稱該社區(qū)為“健身社區(qū)”. 已知被隨機(jī)采訪的男性健身族,男性非健身族,女性健身族,女性非健身族每人每天的平均健分時(shí)間分別是1.2小時(shí),0.8小時(shí),1.5小時(shí),0.7小時(shí),試估計(jì)該社區(qū)可否稱為“健身社區(qū)”?
(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過5%的情況下認(rèn)為“健身族”與“性別”有關(guān)?
參考公式: ,其中.
參考數(shù)據(jù):
0. 50 | 0. 40 | 0. 25 | 0. 05 | 0. 025 | 0. 010 | |
0. 455 | 0. 708 | 1. 321 | 3. 840 | 5. 024 | 6. 635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,MN分別是邊長為1的正方形ABCD的邊BCCD的中點(diǎn),將正方形沿對角線AC折起,使點(diǎn)D不在平面ABC內(nèi),則在翻折過程中,有以下結(jié)論:
①異面直線AC與BD所成的角為定值.
②存在某個(gè)位置,使得直線AD與直線BC垂直.
③存在某個(gè)位置,使得直線MN與平面ABC所成的角為45°.
④三棱錐M-ACN體積的最大值為.
以上所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l的參數(shù)方程為為參數(shù),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為.
求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線l的極坐標(biāo)方程;
Ⅱ若直線與曲線C交于點(diǎn)不同于原點(diǎn),與直線l交于點(diǎn)B,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩位同學(xué)參加數(shù)學(xué)應(yīng)用知識(shí)競賽培訓(xùn),現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次測試成績中隨機(jī)抽取8次,記錄如下:
(Ⅰ)分別估計(jì)甲、乙兩名同學(xué)在培訓(xùn)期間所有測試成績的平均分;
(Ⅱ)從上圖中甲、乙兩名同學(xué)高于85分的成績中各選一個(gè)成績作為參考,求甲、乙兩人成績都在90分以上的概率;
(Ⅲ)現(xiàn)要從甲、乙中選派一人參加正式比賽,根據(jù)所抽取的兩組數(shù)據(jù)分析,你認(rèn)為選派哪位同學(xué)參加較為合適?說明理由.
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