Question

如圖，曲線C₁：=1（b＞a＞0，y≥0）與拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的交點分別為A，B，曲線C₁與拋物線C₂在點A處的切線分別為l₁和l₂，且斜率分別為k₁和k₂．
（I）k₁•k₂是否與p無關(guān)？若是，給出證明；若否，給以說明；
（Ⅱ）若l₂與y軸的交點為D（0，-2），當a²+b²取得最小值9時，求曲線C₁與拋物線C₂的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）求導函數(shù)，分別求出k₁和k₂，計算k₁•k₂，可得k₁•k₂僅與a，b有關(guān)，與p無關(guān)；
（II）先確定A的坐標，代入曲線C₁的方程，利用基本不等式，結(jié)合a²+b²取得最小值9，即可求曲線C₁與拋物線C₂的方程．
解答：解：（I）設(shè)
得，
則…（2分）
由，則，
所以，（※）   …（4分）
又因為，
則．
代入（※）式得．
可見，k₁•k₂僅與a，b有關(guān)，與p無關(guān)．   …（6分）
（II）如圖，設(shè)
由（I）知．…（7分）
又，
所以…（8分）
將點A的坐標代入曲線C₁的方程得．
則，…（10分）
當且僅當“=”成立時，有…（11分）
解得．…（14分）
點評：本題考查曲線方程，考查直線與曲線的位置關(guān)系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．