Question

如圖，曲線C₁是以原點(diǎn)O為中心、F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓的一部分，曲線C₂是以O(shè)為頂點(diǎn)、F₂為焦點(diǎn)的拋物線的一部分，A是曲線C₁和C₂的交點(diǎn)且∠AF₂F₁為鈍角，若|AF₁|=

7

2

，|AF₂|=

5

2

，
（1）求曲線C₁和C₂的方程；
（2）過F₂作一條與x軸不垂直的直線，分別與曲線C₁、C₂依次交于B、C、D、E四點(diǎn)，若G為CD中點(diǎn)、H為BE中點(diǎn)，問

|BE|•|GF2|

|CD|•|HF2|

是否為定值？若是求出定值；若不是說明理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)樵跈E圓中2a=|AF₁|+|AF₂|=

7

2

+

5

2

=6，所以可求曲線C₁方程．，因?yàn)榍�線C₂是以O(shè)為頂點(diǎn)、F₂為焦點(diǎn)的拋物線的一部分，A是曲線C₁和C₂的交點(diǎn)．|AF₁|=

7

2

，|AF₂|=

5

2

，所以利用拋物線定義，可求，曲線C₂方程．
（2）先設(shè)出B、C、D、E四點(diǎn)坐標(biāo)，過F₂作的與x軸不垂直的直線方程，在分別與橢圓方程，拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系，求

|BE|•|GF2|

|CD|•|HF2|

的值，看結(jié)果是否為定值．

解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

= 1，則2a=|AF₁|+|AF₂|=

7

2

+

5

2

=6，得a=3
設(shè)A（x，y），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)2（c，0∵|AF₁|=

7

2

，|AF₂|=

5

2

則(x+c)2+y2=(

7

2

)2
    (x-c)2+y2=(

5

2

)2，兩式相減得xc=

3

2

，由拋物線定義可知，|AF₂|=x+c=

5

2

則c=1，x=

3

2

或x=1，c=

3

2

（舍去）
所以橢圓方程為 

x2

9

+

y2

8

= 1        拋物線方程為y²=4x
（2）設(shè)B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
設(shè)過F₂作一條與x軸不垂直的直線方程為y=k（x-1），代入

x2

9

+

y2

8

= 1，
得（8+9k²）y²+16ky-64k²=0
∴y₁+y₂=-

16k

8+9k2

，y₁y₂=

64k2

8+9k2

同理，把y=k（x-1）代入y²=4x，得，ky²-4y-4k=0，y₃+y₄=

4

k

，y₃y₄=-4
   所以 

|BE|•|GF2|

|CD|•|HF2|

=

|y1-y2|

|y3-y4|

•

1 2 |y3+y4|

1 2 |y1+y2|

=

(y1-y2)2(y3+y4)2 (y1+y2 )2 (y3-y4)2

=

[(y1+y2)2-4y1y2](y3+y4)2 (y1+y2 )2[ (y3+y4)2-4y3y4]

=

[ (16k)2 (8+9k2)2 + 4×64k2 8+9k2 ]( 4 k )2 (16k)2 (8+9k2)2 [( 4 k )2+16]

=3

點(diǎn)評(píng)：本題考察了橢圓，拋物線與直線的位置關(guān)系，掌握設(shè)而不求思想的應(yīng)用．