Question

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，短軸長(zhǎng)和焦距都等于2，是橢圓上的一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，過(guò)且斜率等于的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）證明：直線的斜率為定值；

（3）求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）設(shè)橢圓的方程，根據(jù)橢圓的性質(zhì)即可求得和的值，求得橢圓方程；

（2）利用點(diǎn)差法即可求證直線的斜率為定值；

（3）設(shè)直線的方程，由，將直線的方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式及基本不等式即可求得面積的最大值．

（1）由題意可設(shè)橢圓的方程為，，則，

所以的方程為；

（2）設(shè)，，，，則，，直線的斜率，

由，兩式相減，，

由直線，所以，

直線的斜率為定值；

（3）因?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，

由（1）可知的斜率，設(shè)方程為且，

到的距離

由，整理得：，

所以，

所以，

，

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以面積的最大值為.