【題目】如圖,已知雙曲線C1 ,曲線C2:|y|=|x|+1,P是平面內(nèi)一點(diǎn),若存在過點(diǎn)P的直線與C1 , C2都有公共點(diǎn),則稱P為“C1﹣C2型點(diǎn)”

(1)在正確證明C1的左焦點(diǎn)是“C1﹣C2型點(diǎn)”時(shí),要使用一條過該焦點(diǎn)的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗(yàn)證);
(2)設(shè)直線y=kx與C2有公共點(diǎn),求證|k|>1,進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1﹣C2型點(diǎn)”;
(3)求證:圓x2+y2= 內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1﹣C2型點(diǎn)”

【答案】
(1)解:C1的左焦點(diǎn)為( ),寫出的直線方程可以是以下形式:

,其中


(2)證明:因?yàn)橹本y=kx與C2有公共點(diǎn),

所以方程組 有實(shí)數(shù)解,因此|kx|=|x|+1,得

若原點(diǎn)是“C1﹣C2型點(diǎn)”,則存在過原點(diǎn)的直線與C1、C2都有公共點(diǎn).

考慮過原點(diǎn)與C2有公共點(diǎn)的直線x=0或y=kx(|k|>1).

顯然直線x=0與C1無公共點(diǎn).

如果直線為y=kx(|k|>1),則由方程組 ,得 ,矛盾.

所以直線y=kx(|k|>1)與C1也無公共點(diǎn).

因此原點(diǎn)不是“C1﹣C2型點(diǎn)”


(3)證明:記圓O: ,取圓O內(nèi)的一點(diǎn)Q,設(shè)有經(jīng)過Q的直線l與C1,C2都有公共點(diǎn),顯然l不與x軸垂直,

故可設(shè)l:y=kx+b.

若|k|≤1,由于圓O夾在兩組平行線y=x±1與y=﹣x±1之間,因此圓O也夾在直線y=kx±1與y=﹣kx±1之間,

從而過Q且以k為斜率的直線l與C2無公共點(diǎn),矛盾,所以|k|>1.

因?yàn)閘與C1由公共點(diǎn),所以方程組 有實(shí)數(shù)解,

得(1﹣2k2)x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0.

因?yàn)閨k|>1,所以1﹣2k2≠0,

因此△=(4kb)2﹣4(1﹣2k2)(﹣2b2﹣2)=8(b2+1﹣2k2)≥0,

即b2≥2k2﹣1.

因?yàn)閳AO的圓心(0,0)到直線l的距離 ,

所以 ,從而 ,得k2<1,與|k|>1矛盾.

因此,圓 內(nèi)的點(diǎn)不是“C1﹣C2型點(diǎn)”


【解析】(1)由雙曲線方程可知,雙曲線的左焦點(diǎn)為( ),當(dāng)過左焦點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)滿足左焦點(diǎn)是“C1﹣C2型點(diǎn)”,當(dāng)斜率存在時(shí),要保證斜率的絕對(duì)值大于等于該焦點(diǎn)與(0,1)連線的斜率;(2)由直線y=kx與C2有公共點(diǎn)聯(lián)立方程組有實(shí)數(shù)解得到|k|>1,分過原點(diǎn)的直線斜率不存在和斜率存在兩種情況說明過遠(yuǎn)點(diǎn)的直線不可能同時(shí)與C1和C2有公共點(diǎn);(3)由給出的圓的方程得到圓的圖形夾在直線y=x±1與y=﹣x±1之間,進(jìn)而說明當(dāng)|k|≤1時(shí)過圓 內(nèi)的點(diǎn)且斜率為k的直線與C2無公共點(diǎn),當(dāng)|k|>1時(shí),過圓 內(nèi)的點(diǎn)且斜率為k的直線與C2有公共點(diǎn),再由圓心到直線的距離小于半徑列式得出k的范圍,結(jié)果與|k|>1矛盾.從而證明了結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解點(diǎn)到直線的距離公式的相關(guān)知識(shí),掌握點(diǎn)到直線的距離為:

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②單位圓的“伴隨曲線”是它自身;
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④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線.
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