Question

【題目】已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N* ．
（1）若2a2 ， a3 ， a2+2成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn= ，且b2= ，證明：b1+b2++bn＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知，Sn+1=qSn+1，Sn+2=qSn+1+1，兩式相減，得到an+2=qan+1（n≥1）．

又由S2=qS1+1，得到a2=qa1．

故an+1=qan對所有n≥1都成立．

所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列，從而 ．

由2a2，a3，a2+2成等差數(shù)列，可得2a3=3a2+2，即2q2=3q+2．

則（2q+1）（q﹣2）=0．

由已知，q＞0，故q=2．

所以 ．

（2）解：由（1）知，an=qn﹣1．

bn= ．

由 ，q＞0解得q= ．

因?yàn)?+q2（n﹣1）＞q2（n﹣1）所以

于是b1+b2++bn＞1+q+q2++qn﹣1= = =

故b1+b2++bn＞ ．

【解析】（1）由已知，Sn+1=qSn+1，Sn+2=qSn+1+1，兩式相減，得到an+2=qan+1（n≥1），即數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列，求出q即可．（2）可得q= ，即 ，于是b1+b2++bn＞1+q+q2++qn﹣1= = = ．