Question

給出下列四個(gè)命題：
①當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，有l(wèi)nx+

1

lnx

≥2；
②函數(shù)f(x)=lg(ax+1)的定義域是{x|x＞-

1

a

}；
③函數(shù)f（x）=e^-xx²在x=2處取得極大值；
④=圓x²+y²-10x+4y-5=0上任意一點(diǎn)M關(guān)于直線ax-y-5a-2=0的對(duì)稱點(diǎn)M′也在該圓上．
所有正確命題的序號(hào)是

 

Answer 1

分析：①中因?yàn)閤＞0且x≠1得到lnx有意義，但不一定大于0，只有當(dāng)x＞1時(shí)，lnx＞0．才有a+b≥2

ab

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)的方法求最值．故答案錯(cuò)誤；②要求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域即ax+1＞0，即ax＞-1，討論a＞0時(shí)和a＜0時(shí)兩種情況求出解集，故答案錯(cuò)誤；③要求函數(shù)的極值需求出f′（x）=0時(shí)的駐點(diǎn)得到x=0舍去，所以x=2時(shí)取極值．答案對(duì)；④要說明圓上任一點(diǎn)M關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M′也在圓上，即直線過圓心，把（5，-2）代入方程左邊得0即（5，-2）在直線上．故答案對(duì)．

解答：解：①根據(jù)x＞0且x≠1得到lnx有意義，但不一定大于0，只有當(dāng)x＞1時(shí)，lnx＞0，故不能用基本不等式求最大值，所以答案錯(cuò)誤；
②根據(jù)求對(duì)數(shù)函數(shù)定義域的方法得ax+1＞0，分a＞0時(shí)和a＜0時(shí)兩種情況求出解集分別為x＞-

1

a

或x＜-

1

a

，故答案錯(cuò)誤；
③求出f′（x）=x（2e^-x-xe^-x）=0解得x=0或x=2，因?yàn)閤≠0，所以x＜2時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)；x＞2時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)．故x=2時(shí)函數(shù)取最大值，答案正確；
④要證明圓上任一點(diǎn)M關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)M′也在圓上即要證直線過圓心，找出圓心坐標(biāo)為（5，-2）代入方程左邊得0和右邊相等．故答案正確．
故答案為；③④

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生掌握對(duì)數(shù)函數(shù)定義域的求法，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的能力，以及運(yùn)用關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的圓方程的能力．