Question

已知向量

c

與

a

=(2，-1)和

b

=(1，2)的夾角相等，且|

c

|=2

10

，
（2）求

c

的坐標；
（2）求

a

-

c

與

b

-

c

的夾角．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出

c

的坐標，利用向量的數(shù)量積公式表示出向量的夾角余弦，通過兩組的夾角相等，列出方程組，求出

c

的坐標．
（2）利用（1）求出

a

-

c

與

b

-

c

的坐標，利用向量的數(shù)量積公式求出

a

-

c

與

b

-

c

的夾角余弦，利用反三角函數(shù)求出夾角．

解答：解：（1）設(shè)

c

=(x，y)，

c

與

a

的夾角為 θ1，

c

與

a

的夾角為θ₂則cosθ₁=cosθ₂，
∴

c • a

| c |•| a |

=

c • b

| c |•| b |

得

2x-y=x+2y x2+y2=40

，
即

x=6 y=2

或

x=-6 y=-2

c

=(6，2)或 （-6，-2）．
（2）當

c

=(6，2)時，

a

-

c

=（-4，3），

b

-

c

=（-5，0），
所以cos＜

a

-

c

，

b

-

c

＞=

20

5×5

=

4

5

，
所以＜

a

-

c

，

b

-

c

＞=arccos

4

5

．
當

c

=(-6，-2)時，

a

-

c

=（8，1），

b

-

c

=（7，4），
所以cos＜

a

-

c

，

b

-

c

＞=

60

65• 65

=

12

13

所以＜

a

-

c

，

b

-

c

＞=arccos

12

13

．

點評：本題考查利用向量的數(shù)量積求向量的夾角、向量模的坐標公式．計算量較大，是一道中檔題．