Question

已知f（n）=（2n+7）?3ⁿ+9，存在自然數(shù)m，使得對任意n∈N^*，都能使m整除f（n），則最大的m的值為（　�。�

• A、30
• B、26
• C、36
• D、6

Answer 1

分析：依題意，可求得f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的值，從而可猜得最大的m的值為36，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答：解：由f（n）=（2n+7）•3ⁿ+9，得f（1）=36，f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立．
（2）假設(shè)n=k時(shí)，f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）•3^k+9能被36整除；
當(dāng)n=k+1時(shí)，
[2（k+1）+7]•3^k+1+9
=3[（2k+7）•3^k+9]-18+2×3^k+1
=3[（2k+7）•3^k+9]+18（3^k-1-1），
∵3^k-1-1是2的倍數(shù)，
∴18（3^k-1-1）能被36整除，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，f（n）也能被36整除．
由（1）（2）可知對一切正整數(shù)n都有f（n）=（2n+7）•3ⁿ+9能被36整除，m的最大值為36．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查轉(zhuǎn)化運(yùn)算、猜想與推理證明的能力，屬于中檔題．