Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab的兩個零點分別是﹣3和2．
（Ⅰ）求f（x）；
（Ⅱ）當函數(shù)f（x）的定義域是[0，1]時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

【答案】解：（I）由題意可知ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab=0的兩根為﹣3和2，
故可得﹣3+2= ，﹣3×2= ，解之可得a=﹣3，b=5
故可得f（x）=﹣3x2﹣3x+18；
（Ⅱ）由（I）可知，f（x）=﹣3x2﹣3x+18=﹣3
圖象為開口向下的拋物線，對稱軸為x= ，又x∈[0，1]，
故函數(shù)在x∈[0，1]上單調(diào)遞減，
故當x=0時，函數(shù)取最大值18，當x=1時，函數(shù)取最小值12
故所求函數(shù)f（x）的值域為[12，18]
【解析】（I）轉(zhuǎn)化為ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab=0的兩根為﹣3和2，由韋達定理可得a，b的方程組，解之可得；（Ⅱ）配方可得函數(shù)的圖象為開口向下的拋物線，對稱軸為x= ，可得函數(shù)在x∈[0，1]上單調(diào)遞減，可得最值．
【考點精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的值域和函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，需要了解求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小（大）數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的；二次函數(shù)的零點：（1）△＞0，方程 有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點;（2）△＝0，方程 有兩相等實根（二重根），二次函數(shù)的圖象與 軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點;（3）△＜0，方程 無實根，二次函數(shù)的圖象與 軸無交點，二次函數(shù)無零點才能得出正確答案．