【題目】如圖是圓柱體的母線, 是底面圓的直徑, 分別是的中點(diǎn), .

(1)求證: 平面;

(2)求點(diǎn)到平面的距離;

(3)求二面角的大小.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2) ;(III)

【解析】試題分析:以為原點(diǎn), 分別為軸的正方向建立空間坐標(biāo)系,

(1)平面的法向量可取,由,從而得證;

(2)求出平面的法向量,利用求解即可;

(3)求出平面的法向量,平面的法向量可取,由求解二面角的余弦值即可.

試題解析:

因?yàn)?/span>是直徑,所以, ,

又母線,所以,

為原點(diǎn), 分別為軸的正方向建立空間坐標(biāo)系,可得各點(diǎn)坐標(biāo)如下:

.

(1)平面的法向量可取 ,因?yàn)?/span>,且不在平面內(nèi),所以

(2)設(shè)平面的法向量,則,

點(diǎn)到平面的距離即向量在法向量上的投影,

.

(3)設(shè)平面的法向量,則

平面的法向量可取,所以

易見(jiàn)二面角是銳角,所以二面角的大小是

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【題目】

已知, 函數(shù).

當(dāng), 時(shí),解關(guān)于的不等式;

若函數(shù)的最大值為2,求證: .

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在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),在以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,圓的方程為

(1)寫(xiě)出直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)點(diǎn),直線與圓相交于兩點(diǎn),求的值.

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【題目】甲、乙兩名同學(xué)準(zhǔn)備參加考試,在正式考試之前進(jìn)行了十次模擬測(cè)試,測(cè)試成績(jī)?nèi)缦拢?/span>

甲:137,121,131120,129119,132123,125,133

乙:110,130,147,127146,114126,110,144146

1畫(huà)出甲、乙兩人成績(jī)的莖葉圖,求出甲同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)和方差,并根據(jù)莖葉圖,寫(xiě)出甲、乙兩位同學(xué)平均成績(jī)以及兩位同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)的大小關(guān)系的結(jié)論;

2規(guī)定成績(jī)超過(guò)127為“良好”,現(xiàn)在老師分別從甲、乙兩人成績(jī)中各隨機(jī)選出一個(gè)求選出成績(jī)“良好”的個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

(注:方差,其中的平均數(shù))

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中, 為坐標(biāo)原點(diǎn), 、是雙曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,直線與直線斜率之積為2,已知平面內(nèi)存在兩定點(diǎn)、,使得為定值,則該定值為________

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【題目】某市準(zhǔn)備引進(jìn)優(yōu)秀企業(yè)進(jìn)行城市建設(shè). 城市的甲地、乙地分別對(duì)5個(gè)企業(yè)(共10個(gè)企業(yè))進(jìn)行綜合評(píng)估,得分情況如莖葉圖所示.

(Ⅰ)根據(jù)莖葉圖,求乙地對(duì)企業(yè)評(píng)估得分的平均值和方差;

(Ⅱ)規(guī)定得分在85分以上為優(yōu)秀企業(yè). 若從甲、乙兩地準(zhǔn)備引進(jìn)的優(yōu)秀企業(yè)中各隨機(jī)選取1個(gè),求這兩個(gè)企業(yè)得分的差的絕對(duì)值不超過(guò)5分的概率.

注:方差

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【題目】已知定圓,定直線,過(guò)的一條動(dòng)直線與直線相交于,與圓相交于, 兩點(diǎn), 中點(diǎn).

)當(dāng)垂直時(shí),求證: 過(guò)圓心

)當(dāng),求直線的方程.

)設(shè),試問(wèn)是否為定值,若為定值,請(qǐng)求出的值;若不為定值,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】對(duì)于各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列,如果滿足)為完全平方數(shù),則稱數(shù)列具有“性質(zhì)”;不論數(shù)列是否具有“性質(zhì)”,如果存在與不是同一數(shù)列的,且同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件:①的一個(gè)排列;②數(shù)列具有“性質(zhì)”,則稱數(shù)列具有“變換性質(zhì)”.

(Ⅰ)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和,證明數(shù)列具有“性質(zhì)”;

(Ⅱ)試判斷數(shù)列和數(shù)列是否具有“變換性質(zhì)”,具有此性質(zhì)的數(shù)列請(qǐng)寫(xiě)出相應(yīng)的數(shù)列,不具此性質(zhì)的說(shuō)明理由;

(Ⅲ)對(duì)于有限項(xiàng)數(shù)列,某人已經(jīng)驗(yàn)證當(dāng))時(shí),數(shù)列具有“變換性質(zhì)”,試證明:當(dāng)時(shí),數(shù)列也具有“變換性質(zhì)”.

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【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為上的動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4,當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到橢圓的上頂點(diǎn)時(shí),直線恰與以原點(diǎn)為圓心,以橢圓的離心率為半徑的圓相切.

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為,若交直線兩點(diǎn).問(wèn)以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)?若過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)求出該定點(diǎn)坐標(biāo);若不過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由.

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