【題目】已知橢圓C+=1ab0),且橢圓上的點到一個焦點的最短距離為b

1)求橢圓C的離心率;

2)若點M)在橢圓C上,不過原點O的直線l與橢圓C相交于AB兩點,與直線OM相交于點N,且N是線段AB的中點,求△OAB面積的最大值.

【答案】1.(2

【解析】

1)由題意,得,然后求解離心率即可;

2)由(1)得a=2c,則b2=3c2.將代入橢圓方程可解得c=1,求出橢圓方程,直線OM的方程為,當直線l的斜率不存在時,AB的中點不在直線上,故直線l的斜率存在.設直線l的方程為y=kx+mm≠0),與橢圓聯(lián)立消y,設AB坐標,利用韋達定理求出AB的中點,代入可得k值,再利用判別式推出,且m≠0,利用弦長公式以及三角形的面積,利用均值不等式可得最值.

1)由題意,得,

,結合b2=a2-c2,得,

2c2-3ac+a2=0,

亦即2e2-3e+1=0,結合0e1,解得,

所以橢圓C的離心率為

2)由(1)得a=2c,則b2=3c2,

代入橢圓方程,解得c=1,

所以橢圓方程為

易得直線OM的方程為

當直線l的斜率不存在時,AB的中點不在直線上,故直線l的斜率存在,

設直線l的方程為y=kx+mm≠0),與聯(lián)立,

y得(3+4k2x2+8kmx+4m2-12=0,

所以=64k2m2-43+4k2)(4m2-12

=483+4k2-m2)>0

Ax1,y1),Bx2,y2),

,

,

AB的中點

因為N在直線上,

所以,解得k=-

所以=4812-m2)>0,得-,且m≠0

|AB|=|x2-x1|

=

=

=

又原點O到直線l的距離d=,

所以

,

當且僅當12-m2=m2m=時等號成立,符合-,且m≠0,

所以OAB面積的最大值為:

練習冊系列答案
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2)某日,張三豐購進130件該種產品,根據(jù)近期市場行情,當天每售出1件能獲利30元,未售出的部分,每件虧損20元設當天的需求量為,純利潤為

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x(年)

2

3

4

5

6

y(萬元)

1

2.5

3

4

4.5

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