Question

如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直．EF∥AC，AB=

2

，CE=EF=1，∠ECA=60°．
（1）求證：AF∥平面BDE；
（2）求異面直線AB與DE所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中四邊形ABCD為正方形，EF∥AC，AB=

2

，CE=EF=1，我們易證得EFAO為平行四邊形，即AF∥OE，再由線面平行的判定定理得到AF∥平面BDE；
（2）由AB∥CD得∠EDC為異面直線AB與DE所成的角或其補(bǔ)角，解三角形EDC即可得到異面直線AB與DE所成角的余弦值．

解答：解：（1）證明：∵ABCD是正方形，且AB=

2

，
∴AO=1，又EF∥AC，EF=1，
∴EFAO為平行四邊形，則AF∥OE，而AF?面BDE，OE?面BDE，
∴AF∥面BDE （3分）
（2）∵ABCD是正方形，
∴AB∥CD
∴∠EDC為異面直線AB與DE所成的角或其補(bǔ)角 （2分）
又BD⊥AC，又面ABCD⊥面ACEF，且面ABCD∩面ACEF=AC
∴BD⊥面ACEF，又OE?面ACEF，
∴BD⊥OE．
而由EC=1，OC=OA=1，∠ECA=60°
∴OE=1，又OD=1，則ED=

OE2+OD2

=

2

又CD=

2

，CE=1，
∴Cos∠EDC=

2+2-1

2× 2 × 2

=

3

4

∴異面直線AB與DE所成的角的余弦值為

3

4

（3分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，異面直線及其所成的角，其中（1）的關(guān)鍵是證得AF∥OE，（2）的關(guān)鍵是構(gòu)造異面直線AB與DE所成的角（或其補(bǔ)角）∠EDC，將異面直線夾角問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題．